Här kommer en kort och tydlig sammanfattning om ordinära differentialekvationer på gymnasienivå:

---

Ordinära differentialekvationer – sammanfattning

Vad är en differentialekvation?
En differentialekvation (DE) är en ekvation där en funktion och dess derivator förekommer. Den beskriver hur något förändras.

• Ordinära differentialekvationer (ODE): här är det en funktion av en variabel (till exempel tid t).
• Partiella differentialekvationer (PDE): gäller funktioner av flera variabler – dessa är svårare och studeras senare.

---

Exempel på ODE:
[
y'(t) = 3y(t)
]
Detta betyder: derivatan av funktionen (y(t)) är tre gånger funktionen själv.

---

Allmän och partikulär lösning:

• Den allmänna lösningen innehåller en godtycklig konstant.
• Den partikulära lösningen fås om man känner till ett begynnelsevärde (t.ex. (y(0) = 2)).

För exemplet ovan:
[
y(t) = Ce<^{;3t<;
]
Om (y(0)=2), då blir (C=2), och lösningen blir:
[
y(t) = 2e^{3t}.
]}

---

Varför är ODE viktiga?
De används för att beskriva naturliga och tekniska fenomen, t.ex.:

• Tillväxt (bakterier, befolkning)
• Radioaktivt sönderfall
• Rörelse (hastighet, acceleration)
• Elektriska kretsar

---

Vanliga typer på gymnasienivå:

1. Första ordningens linjära ODE:
   [
   y'(t) = ky(t)
   ]
   Lösning: exponentialfunktioner.
2. Separerbara ekvationer:
   [
   \

   {dy}/{dt}

   = f(t)\cdot g(y)
   ]
   Lösning genom att separera variabler:
   [
   \frac{dy}{g(y)} = f(t)dt
   ]

---

👉 Kort sagt: Ordinära differentialekvationer är ekvationer som kopplar en funktion till dess derivator. De beskriver dynamiska system och lösningarna visar hur något utvecklas över tid.

---

3145 i matte 5

https://youtu.be/xanwQTUK9qc?si=tJFGeSpK4cesFUrc