Kategorier
Geometri matematik 2c Uncategorized

Fraktaler i blåbärssoppa

Fractaler i blåbärssoppa Icke regelbundna former kan i regel beskrivas som fraktaler dvs kurvor som består av mindre kopior av sig självt. Ex är kustlinjen och moln och träd. Dimensionen för en fraktal beräknad som kvoten mellan area och sträcka behöver inte vara ett heltal. Exempelvis är dimensionen, eller måttet, för Kochs kurva 4/3. Plottar man upp kaosartade processer blir grafen en fraktal. Mandelbrotmängderna (se bild nedan) är ett exempel. Ett system, eller en process, är kaosartad om en liten ändring av startvärdena resulterar i en stor, oförutsägbar, ändring av slutvärdena. Ett exempel på detta är fjärilseffekten som innebär att om en fjäril flaxar med vingarna i Australien ändras startvärdena för atmosfärens tillståndsvariabler så att det uppstår en orkan på andra sidan jordklotet.

sidan jordklotet. mandelbrot2

Kategorier
Fysik 1 Uncategorized

Stråloptik

Newtonringar
Newtonringar

Ljus besitter såväl partikel – som vågegenskaper som jag tidigare skrivit om. Rörelsemängd är exempel på det förstnämnda medan interferens och refraktion (brytning) är exempel på det senare.
När det gäller strålgång i speglar och linser fungerar vågmodellen väl. Då beskrivs strålgången med hjälp av pilar vars riktning sammanfaller med vågfrontens rörelseriktning. Då ljuset passerar genom en lins ändras dess utbredningsriktning eftersom ljushastigheten i glas endast är 2/3 av ljushastigheten i vakuum. Eftersom ljusets frekvens måste förbli oförändrad (annars skulle vågorna hopa sig) är det ljusvåglängden som ändras.
Detta förlopp beskrivs av Snells lag:
n1 sin v1 = n2 sin v2
Där n1 och n2 är de respektive ämnenas brutningsindices och v1 och v2 är infalls respektive brytningsvinkeln.

Ett samband mellan föremålsavstånd (à) bildavstånd (b) och brännvidd(f) är Gauss linsformel:
1/a + 1/b = 1/f
Linser används för att ändra ljusets strålriktning. En

konvex lins

samlar ihop ljuset. Parallella strålar bryts ihop genom brännpunkten som också kallas fokus.

Interferensmönster beskrivs Mha gitterformeln
dsinv = mλ

d är gitterkonstanten, v är brytningsvinkeln medan lambda är ljusets våglängd och m är ordningen.

Ex: vinkeln mellan de båda andra ordningarnas maxima är 36

grader

.
gittret har 100 ritsor per mm.
Vilken våglängd har då ljuset?

Kategorier
Astronomy Uncategorized

Jordliknande planet

Avbildning av den närmaste jordlikannde planeten Gliese-832c.
Avbildning av den närmaste jordlikannde planeten Gliese-832c.

 

Påträffad runt M stjärna i SvaSvanens stjärnbildnens stjärnbild 500 ljusår från solen.

Kategorier
matematik 2c matematik 4

Centrala medelvärdessatsen och normalfördelningen

68% befinner sig inom en standardavvikelse från medelvärdet. 96 % inom två.
68% befinner sig inom en standardavvikelse från medelvärdet. 96 % inom två.

Enligt centrala medelvärdessatsen fördelar sig alla slumpmässiga mätningar av oberoende variabler enligt normalfördelningen. Denna kallas också Gauss klockkurva. Den har maximal entropi för given varians och standardavvikelse. Ett exempel på detta är antalet sända sms på n dag av en grupp människor.

 

Statistik är insamling och bearbetning av data.
Ett lägesmått sammanfattar det statistiska materialet med ett tal: medelvärde och median är lägesmått.
Medelvärdet fås genom att man summerar alla observationer och delar med antalet observationer.
Medianen fås som den mittersta värdet om man arrangerar mätdata i storleksordning.
Om observationerna inte är siffervärden kan man använda typvärde som är den vanligaste observationen.
Typvärdet är den vanligaste observationen och används då observationerna inte är siffror.

För att beskriva hur väl samlat ett statistiskt material är används spridningsmått: variationssbredd och standardavvikelse.
Variationsbredden fås som differensen mellan det största observerade värdet och det minsta.
Standardavvikelse. Är roten ur variansen.

Kategorier
matematik 1c matematik 2c matematik 3c matematik 4

logaritmer och potenser

Alla positiva reella tal kan skrivas som potenser med basen 10. Exponenten benämns då logaritmen för talet ifråga.

Således är 10log(35)= 35.

Med hjälp av potenslagarna kan man härleda logaritmlagarna.
log(ab) = log(a) + log(b)
log(a/b)= log(a) – log(b)
log(ax)= xlog(a)

lg2x +l g(2/x) = lg2 + lgx + lg2 – lgx = 2lg2 = lg22 = lg4.

logaritmer uppfanns av John Napier.

 

Upprepade  produkter av samma faktorer kan uttryckas med hjälp av potenser. dessa består av en bas och en exponent. den senare anger hur många gånger basen skall multipliceras med sig självt.

52 = 5 × 5

potenslagarna ger

52 × 53 = 52+3

5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 5

 

55/52 = 55-2 = 53

Ur den senaste lagen följer att

50 = 1 eftersom 52/ 52 = 1
50 = 1.

81/3 = 2

uppgift 1651 i Ma1c av sjunnesson.

IMG_2135.JPG

 

Potensekvationer:

x3=27 → x = 271/3 → x = 3.

Allmänt

xn = a → x=a1/n

 

 

Kategorier
Philosophy of Science Uncategorized

Logik

Är en gren av filosofin som även ligger till grund för matematiken. Intressant är utsagan: Jag ljuger. Om det är sant är så ljuger han ju och då talar han egentligen sanning. Om det å andra sidan är sant så ljuger han och då talar han egentligen sanning!