Kategorier
matematik 2c Uncategorized

Exponentialfunktioner

Exponentialfunktioner kan alltid skrivas som y= C ax
Där C är startvärdet och à är förändringsfaktorn.
Exponentiell förändring innebär att den procentuella ökningen per tidsenhet är lika stor hela tiden.

Ex populationen i en stad är 20 000 och ökar med 1 % om året. Då är C= 20000 och à= 1,01. Funktionen blir
då y= 20000 1,01x.

Kategorier
matematik 1c matematik 2c matematik 3c Uncategorized

Andragradsfunktioners grafer och funktioner

Genomgång av funktionsbegreppet

Det är mycket viktigt att känna till det matematiska språket.

Att f är en funktion av x skriver man som f(x). Skrivsättet används då man önskar betona att y är en funktion av x.
Detta betyder att y-koordinatens värde är beroende av x-värdet.

Ex.
Istället för y = x+3 skriver man då
f(x) = x+3

innebär att y-värdet fås genom att x-värdet skall adderas med 3.

x = 1 ger f(3) = 1 + 3 = 4.

f(3) betyder alltså funktionens värde då x = 3.
f(x) =3 är en ekvation vars lösning är det x-värde som insatt i funktionens ekvation ger y = 3.

Kategorier
Fysik 1 Uncategorized

Tryck

det mekaniska trycket definieras enligt

p=F/A

F är den vinkelräta kraften mot arean A.

vätsketrycket på djupet h beräknas enligt p=ρg h

det beror alltså endast på vätskedjupet.

vätsketrycket är alltid vinkelrätt mot ytan.
detta medför att vätskor i kommunicerande kärl ställer sig på samma nivå.

det är detta tryck som ger upphov till lyftkraften.

en vätska är inkompressibel. för att komprimera vatten 1% fordras trycket 2,1MPa motsvarar tyngden av 2 100 00 kg på 1m2.

Detta kan man beräkna med Bulkmodulen B =( -F/A)/(δV/V0). för vatten är Bulkmodulen 21 GN/m2.

Kategorier
Fysik 1

Fasomvandlingar

Att en vätska kokar innebär att ångtrycket i bubblorna i ämnet är lika stort som den omgivande luftens tryck.
Det finns fyra olika aggregationstillstånd som materien kan anta: fast, flytande och gasform.
Går man från vänster till höger kallas omvandlingarna mellan dessa faser :
Smältning respektive kokning.
går man åt andra hållet betecknas omvandlingarna kondensation och stelning.
Det fjärde tillståndet är plasma då atomerna är fullständigt joniserade.
I neutronstjärnornas inre finns kollapsad materia där elektronerna har slagits in i protonerna och bildat neutroner.
Å
 

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/34/Phase-diag2.svg

Kategorier
matematik 2c Uncategorized

Ekvationsystem2 Additionsmetoden.

I ekvationssystemet nedan ser du exempel på additionsmetoden. Här är det lämpligt att addera x+z med  x-z eftersom vi då eliminerar z. I steg tre. 20140321-110751.jpg

Kategorier
Fysik 2 Uncategorized

Gravitationsvågor

Har nu detekterats av forskare i nordamerika. Det är krusningar i rum-tiden som bildades i inflationsfasen omedelbart efter Big Bang.

Det är en epokgörande upptäckt eftersom den förnyar gravitationsteorin med kvantmekaniken. Enligt standardmodellen måste nämligen varje avståndskraft förmedlas av ett utbyte av partiklar med vågegenskaper. Elektromagnetiska krafter förmedlas genom ett utbyte av fotoner som enligt våg-partikeldualismen kan beskrivas som en elektromagnetisk våg. på samma sätt verkar alltså gravitationskraften genom gravitationsvågor som även besitter partikelegenskaper. Denna gravitationspartikel kallas graviton.

Kategorier
matematik 2c Uncategorized

Ekvationssystem

20140319-122330.jpg

För att ett ekvationssytem skall vara lösbart krävs lika många ekvationer som variabler.

Det finns tre möjligheter: 

1. En lösning om k och m är olika för de ingående ekvationer. 

  1. En lösning om k och m är olika för de ingående ekvationer. 
  2. Ingen lösning om k är samma men m är olika. (Parallella linjer). 
  3. Oändligt många lösningar om k och m är samma. Identiska linjer. 

Är det färre ekvationer än obekanta kallas systemet underbestämt. Då får man införa parametrar och lösningen blir inte entydig. Är det tvärtom färre variabler än ekvationer är systemet överbestämt. Och det är inte säkert att det finns någon lösning. 

 

Man kan välja mellan substitutionsmetoden då man löser ut en av variablerna i de andra och sedan substiuerar in detta uttryck i den/de öriga ekvationerna eller additionsmetoden då man adderar ekvationerna ledvis för att på så sätt eliminera variablerna.

på tavlan ovan används substitutionsmetoden genom att jag löser ut x ur x-y=12 och får x=12+y .

jag ersätter sedan x i den andra ekvationen x+y=20 med detta uttryck och får då y+12+y=20.  denna ekvation innehåller bara y och kan därför lösas. förenkling ger 2y+12=20    2y=8.   och y=4.

Sedan ersätter man y i den ursprungliga ekvationen med detta värde och kan sedan beräkna x .

X-4=12.        X=16.

därmed är ekvationssystemet löst vilket kan kontrolleras med prövning.

Kategorier
Fysik 1 Uncategorized

Avogadros tal

Substansmängden av ett ämne definieras som antalet atomer som utgör lika många  gram av ämnet som atommassan av en atom av ämnet.

Exempelvis antalet atomer i 12 g 12C.
Detta antal bemnämns Avogadros tal och motsvarar en mol av ämnet i fråga.
Avogadros tal NA = 6,02 ˙1023.

Molmassan (M) i g för ett ämne är alltså lika med atommassan i u.
Följande stoikiometriska samband gäller:
m = M &ampdot;n

m=massan
n=substansmängden
M= molmassan

n = c ˙ V
n = substnsmängden
c = koncentrationen
V = volymen.

Avogadros tal kallas Loschmidts tal i tyskspråkiga länder.

Den allmänna gaslagen är en makroskopisk beskrivning av en gasmängd med hjälp av tillståndsvariablerna p (tryck), V (volym) och T (absolut temperatur).
pV = NkT
där N är antalet atomer eller molekyler i gasen medan k är Boltzmanns konstant
1,38 ˙ 10-23.
den kan även skrivas som pV = nRT där R är den allmänna gaskonstanten 8,31 medan n är antalet mol av ämnet.
Således gäller att Nk = nR och alltså är R = Nk/n men N/n = Avogadros tal NA antalet atomer delat med antalet mol vilket är detsamma som Avogadros tal NA.

Kategorier
Fysik 1 Gymnasiefysik(high school physics) Uncategorized

Arkimedes och hans princip

Arkimedes

Då alla tiders bästa matematiker skall utses brukar alltid Arkimedes (287 f.Kr – 212 f. Kr.) hamna på prispallen. Det är givetvis vanskligt att jämföra personer från så vitt skilda tider men om man försöker skala bort de olika förutsättningarna så brukar han dela förstaplatsen med Newton från 1600-talet och Gauss från 1800-talet.

Han uppfann bla en metod för beräkning av cirkelareor baserad på exhaustionsprincipen vilket är en sorts infinitesimalkalkyl dvs den baseras på summationen av oändligt små enheter. Med denna metod kunde han härleda formeln för cirkelns area och sfärens volym.

Inom hydrostatiken formulerade han Arkimedes princip som förklarar att flytkraften på ett föremål nedsänkt i en vätska är lika med tyngden av deplacementet. dvs den undanträngda vätskans tyngd.Enligt legenden var det kung Hieron i Syracusa på Sicilien,   på den tiden var en grekisk koloni som gav Arkimedes i uppdrag att avgöra huruvida en nyinskaffad kungakrona var av guld eller ej. Det sägs att Arkimedes fick iden till lösning då han låg i badet. Genom att sänka ner kronan i vattnet kunde han fastställa volymen av kronan. Sedan kunde han jämföra kronans massa med en guldklumps av motsvararande volym.
Inom mekaniken beskrev han hävstångsprincipen.

Vidare konstruerade han en maskin för att lyfta upp vatten: arkimedes skruv. Den används än idag.

Med hjälp av den omskrivna 96-hörningen fastställde han π: s värde till 22/7.

Enligt legenden blev Arkimedes nerhuggen av en romersk soldat då dessa stormade Syrakusa under det första puniska kriget. Arkimedes hade ritat upp några cirklar i sanden och kontemplerade ett geometriskt problem. Hans sista ord lär ha varit: ”Rubba inte mina cirklar”.

ex. slagskeppet Bismarck hade ett deplcement på 41700 ton. detta motsvarar en undanträngd vattenvolym på 41700 m3. insatt i formeln F= ρgV ger detta en lyftkraftig på 417 000 N.