Kategorier
Calculus

Bessel functions

Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846)  was an outstanding mathematician and astronomer in the 19 th. century. Professor at the Albertina university in the no longer existing town of Königsberg. He was the first astronomer to use the parallax of a star for distance measurements. He also pinned down the positions of 50 000 stars.

In pure mathematics his major achievement is to have deduced the Besselfunctions which are solutions to the Bessel differential equation.

x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0
The solutions are given by
J_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos (n \tau - x \sin \tau) \,\mathrm{d}\tau.
This equation is encountered in electromagnetic wave-propagation problems and in quantum mechanics when solving the Schrödinger-equation.
Kategorier
Gymnasiefysik(high school physics) matematik 5

Line integrals

The line integral along the curve C can be written as
\int_C f\, ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)|\, dt.
where C is parametrisized as r(t) with the parmeter t.

∫¦r'(t)¦ dt equals the arc length i.e. the length of the curve.

Consider eg the circle.  x2+ y2 = r2. This can be parametrisized as follows

x(t) = cos(t)

y(t) = sin(t)

The perimeter of the circle can then be calculated according to

∫ sint2+cos2t dt= 2π
0

Kategorier
Uncategorized

Exercises on the masterclass

Exercises
Kategorier
Gymnasiematematik(high school math) Uncategorized

Zeno’s paradoxes

Zeno of Elea

It is impossible to arrive at any destination since at first you have to travel half the distance and then half the remaining distance and so on.

This eans you have to travel an infinite number of half-distances which ought to take infinitely long time.

Read more about his paradoxes here

Kategorier
Astronomy

Shooting stars

Perseid meteor shower
The perseids is a meteor shower connected to the comet Swift-Turtle. This picture shows this year’s Perseid shower photographed over Wirkenheim in Germany.

http://en.wikipedia.org/wiki/Perseids

Kategorier
Astronomy

Human achievement and technological triumph

Last Monday August 6 th. a human made automobile called ‘Curiosity ‘ landed on the surface of planet Mars. Even though it is our closest neighbour the journey lasted for 36 weeks.  It defied the ‘Mars curse’ and the landing was successful.

It has no sent its first pictures from this frozen world. Horizons never seen by the human eye.

Panorama from Mars 10th of August 2012.
Kategorier
Uncategorized

Masterclass in mathematics

Masterclass summer 2012.

Last week I supervised a masterclass in mathematics for 18 -years olds at Spyken Gymnasium in Lund.

The subject was plane euclidean geometry.

Above is a picture of the participants.  Which includes memebers of the Swedish IMO team

Rdio interview: click here

Kategorier
Geometri Gymnasiematematik(high school math) matematik 1c Uncategorized

Chord-tangent theorem

The measure of the angle formed in the intersection between the chord of a circle and the tangent to the circle is the same as the angle at the periphery of the circle.

Click here to se the proof

Kategorier
Geometri Gymnasiematematik(high school math)

Euclidean postulates, theorems and definitions 3

Geometri teorem

den 29 juli 2012

00:02

  1. Om två vinklar är vertikalvinklar är de båda vinklarna lika stora. (If two angles are vertical angles then the two angles are congruent.)
  2. Två trianglar är kongruenta (likadana) om två sidor och mellanliggande vinkel hos de båda trianglarna är kongruenta. (Two triangles are congruent if two angles and the included angle are congruent to the corresponding parts of the second triangle. S.A.S..)
  3. Två trianglar är kongruenta om två vinklar och sidan mellan dessa är kongruenta i de båda trianglarna. (Two triangles are congruent if two angles and the included side of the  first triangle are congruent to the corresponding parts of the 2nd triangle. A.S.A.)
  4. Två trianglar är kongruenta om sidorna i den första triangeln  är kongruenta med motsvarande element i den andra triangeln. (Two triangles are congruent if the sides of the first triangle are congruent to the corresponding sides of the second triangle. (S.S.S.)
  5. Om en triangel har två kongruenta sidor, har den också två kongruenta vinklar som står mot dessa sidor. Och omvänt. (If a triangle has two congruent sides then the triangle has congruent angles opposite those sides.
  6. En liksidig triangel är alla vinklar lika stora. (An equilateral triangle is equiangular. Also converse.)
  7.  Om två likbelägna vinklar bildade av en transversal är lika stora är linjerna parallella.  Och omvänt  If a pair of corresponding angles formed by a transversal of two angles are congruent then the two lines are parallell. Also converse.
  8. Om ett par alternatvinklar bildade av en transversal  mellan två linjer är kongruenta så är dessa båda linjer parallella. Omvändningen gäller också.
  9. Två linjer är parallella om de är vinkelräta mot samma linje.
  10. Om en linje är vinkelrät mot den ena av två parallella linjer är den också vinkelrät mot den andra.
  11. Om ett par intilliggande inre  vinklar bildade av en transversal mellan två linjer är supplemetära , så är linjerna parallella. Och omvänt.
  12. Storleken på yttervinkeln i en triangel är lika med summan av de båda inre vinklarna i triangeln.
  13. Summan av storleken på de tre vinklarna i en triangel är 180 grader. Alltid.
  14. Summan av de spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangel är 90 grader
Kategorier
Geometri

Euclidean postulates, theorems and definitions 2

1. The sum of the measures of the four interior angles of a convex quadrilateral is 360 degrees, a constant.

  1. Two triangles are congruent (i.e. identical) if two angles and a non- included side of the first triangle are congruent to the correponding parts of the 2nd triangle.
  1.  Two right triangles are congruent if the hypotenuse and a leg of one triangle are congruent to the corresponding parts of the other triangle.
  2. Any point on the perpendicular bisector of a line segment is equidistant from the endpoints of the line segment. Two points equidistant from the endpoints of a line segment, determine the perpendicular bisector of the line segment. En godtycklig punkt på en vinkelrät bisektris befinner sig mitt emellan vinkelns sidor.
  1. Varje punkt på mittpunktsnormalen av ett linjesegment befinner sig på samma avstånd från segmentets ändpunkter. Två punkter på samma avstånfd från ändpunkterna bestämmer  mittpunktsniormalen,.
  1. Parallell lines are everywhere equidistant.
  2. Motsdtående sidor i en parallellogram är parallella och omvänt.
  1. Motstående sidor i ett parallellogram är congruenta.  Och omvänt.
  1. Intilligande vinklar i ett parallellogram är supplementära.
  1. Diagonalen i ett parallellogram delar  in parallellogrammet i två kongruenta trianglar.
  2. Ett parallelograms diagonaler delar varandra på mitten.
  3. En rektangel är ett special fall av parallellogrammet medd fyra kongruenta vinklar  och dess diagonler är kongruenta. Och omvänt.
  4. En romb är ett parallellogam där diagonalerna skär varandra under rät vinkel.
  5. Romben har fyra kongruenta sidor. Och omvänt.
  6. DiagonalerNA I ROMBEN är bisektriser.
  7. En fyrhörning är ett parallelogram om motstående sidor är parallella och kongruenta.