Kategorier
Fysik 1 Gymnasiematematik(high school math) matematik 1c Uncategorized

Procenträkning (Percentage calculation)

20131031-174156.jpg
Akropolis i pastell. Artist:Kristian Strid

Redan under antiken räknade man med procent. Ordet procent kommer från latinet och betyder per hundra. I vår tid betyder det hundradel.

Således gäller att:

5% = 5/100 = 0,05.

Man kan indela alla procentproblem i tre kategorier:

  1. Beräkna andelen(calculate the proportion)
  2. Beräkna delen(calculate the part)
  3. Beräkna det hela (calculate it all)

Exempel på problem ett är att t.ex följande: Hur många procent är 40 plommon av ett parti på 200 plommon ? 

Det löser man genom att man dividerar delen med det hela:

40/200 = 0,20 = 20% .

Ett exempel på problem av typ två är följande: Hur mycket är 25% av 4 000 personer?

Det löser man genom att först beräkna en procent av 4 000 personer: 4000/100 = 40 st personer. Sedan multiplicerar man detta med 25:  25 x 40 = 1 000 personer. 

Man kan genomföra dessa båda steg på en gång genom att multiplicera 4 000 med 0,25 direkt: 0,25 · 4 000 = 1 000 personer.  

Den tredje typen av problem kan se ut enligt följande: Pernilla fick ett år 700 kr i ränta på sitt bankkonto där räntesatsen var 3,50%. Hur mycket pengar hade Pernilla på sitt bankkonto vid årets början om inga insättningar gjordes under året? 

Här beräknar man först vad en procent av kapitalet är: 700/3,50 kr = 200 kr. 

Sedan multiplicerar man detta med 100 så fär man fram hela beloppet:

100 ·200 kr = 20 000 kr.  

Det är också viktigt att skilja mellan procent och procent enheter.

Antag att andelen arbetslösa ökar från 10 till 12 %.

Då är ökningen 2 procentenheter men 2/10 = 20%.

Förändringsfaktor:

Med förändringsfaktor kan man enkelt räkna ut det nya värdet

nya värdet = förändringsfaktorn · gamla värdet 

Förändringsfaktorn får man fram genom att ta 1 + r där r är procentuella ökningen eller minskningen i decimalform.

Ex Priset på en vara ökar med 5% ger en förändringsfaktor 1 + o.o5 = 1.05.

Sänkning med 30% ger ff = 1-0.30 = 0.70.

En fördel med ff är att man enkelt kan beräkna upprepade förändringar:

Höjning med 5% och sänkning med 30% ger 1.05 &middot0.70 · gamla priset.

10 års ränta på ränta med 5% räntesats ger på 10 000 kr insättning ger

1.0510 · 10 000 kr

Kategorier
Fysik 1 Fysik 2

Nuclear Physics

All materia är uppbyggd av kvarkar och elektroner.

Kvarkarna förekommer inte i fritt tillstånd utan endast bundna i tripletter eller parvis.

Nukleonerna byggs upp av tripletter. Protonen består av två up-kvarkar och en ned-kvark och vice versa för neutronen.  Kvarkarna och därmed nukleonerna binds samman av den sk starka kärnkraften. Denna övervinner den elektromagnetiska repulsionen mellan de positiva protonerna på korta avstånd (fm).

Kärnans bindnigsenergi definieras som den energi som måste tillföras kärnan för att denna skall brytas upp i sina beståndsdelar.

Det visar sig att de fria nukleonernas sammanlagda massa överstiger atomkärnans massa. skillnaden är den sk massdefekten

Enligt Einsteins formel är massa en form av energi som kan beröknas med E = mc2     

Detta förklarar var bindningsenergin kommer ifrån.

Antalet protoner i kärnan benämns atomnummer, Z. Summan av antalet protoner och neutroner är lika med masstalet A.

Atomnumret fastställer entydigt vilket ämne det handlar om. Det fungerar som ordningsnummer i det periodiska systemet.

Däremot kan antalet neutroner variera för ett och samma ämne. Kärnor med samma atomnummer men olika masstal betecknas som isotoper av samma ämne.

Vissa ämnen är instabila och sönderfaller till andra ämnen. Dessa betecknas som radioaktiva kärnor. Den mest stabila atomkärnan är <sup>26</sup>Fe.

Alla andra ämnen eftersträvar denna ur energisynpunkt mest gynnsamma nukleonkonfiguration.

Tyngre ämmen kan sönderdelas (fission) medan lättare ämnen kan slås samman (fusion) för att uppnå detta. I båda processerna alstras energi.

ΔN = k N Δt kan omformuleras som differentialekvationen dN/dt = kN dN/dt+kN = 0. Detta är en lineär homogen differentialekvation av första ordningen som kan lösas genom att man multiplicerar båda leden med den integrerande faktorn.
e-kt. Vänsterledet är då lika med derivatan av en produkt. dNe-kt/dt = 0. Integration av båda leden ger Ne-kt=C
N(t)=N0e-kt

Man kan skriva denna ekvation som N(t) = N0(1/2)t/T1/2

T1/2 är halveringstiden dvs den tid det tar för hälften av kärnorna att sönderfalla.

I en kärnreaktionerna omvandlas ett grundämne till ett annat. Alkemi alltså.

Den första av människan avsiktligt framkallade kärnreaktionerna är:

4He + 14N → 17O + 1H

Vid kärnreaktionerna gäller följande bevarandelagar:

laddningen, Q, bevaras.

Nukleontalet ( masstalet) bevaras.

Den totala energin bevaras.

 

 

Kategorier
Algebra

Partialbråksuppdelning.

Partialbråksuppdelning går ut på att man skriver om ett rationellt uttryck som summan av ratioenlla uttryck av lägre gradtal

Partialbråksuppdelning ger ansatsen

\begin{displaymath}<br /><br /> \frac{1+4x+4x^{2}}{(x+5)^{2}(x+2)(1-x)}=\frac{A}{(x+5)^{2}}<br /><br /> +\frac{B}{x+5} + \frac{C}{x+2}+\frac{D}{1-x}<br /><br /> \end{displaymath}

Handpåläggning ger $A=4\cdot4^{-1}(-1)=6,$ $C=2\cdot 2^{-1}3^{-1}=5$ och $D=2\cdot 3^{-1}=3$. Sätter vi nu $x=0$ får vi $1\cdot<br /><br /> 4^{-1}2^{-1}=6\cdot 4^{-1}+B5^{-1}+5\cdot 2^{-1}+3$ eller $1=5+3B+6+3,$ dvs $B=5$.

Detta är användbart bl.a. vid integrationer där integranden är en rationell funktion som man inte kan finna någon primitiv funktion  till.

Kategorier
Calculus matematik 3c matematik 4

l´Hôpital’s rules

sin(x)/x = 1 when x approaches infinity. Direct substitution of x=0 gives the indeterminate form 0/0.
The limit of an indeterminate form can be any number. For instance
kx/x= 0 , |x|/x2= &inf; as x tends towards infinty.
Many indeteminate forms can be evaluated with basic algebra.
If this is not possible l’Hôpital’s rule is the solution.

It states that the limit of an indeterminate form equals the limit of the dervative of the nominator and denominator of the indeterminate form.

Kategorier
matematik 5

Rotationskroppar 2 Guldins regel

Ett alternativt sätt att beräkna volymen av en rotationskropp är att använda sig av Guldins regel eller Pappus centroid teorem. Detta innebär att man får volymen om produkten av rotationskroppens  tyngdpunkts (centroids) färdväg vid rotationen (d) och tvärsnittsarean A.

V = Ad.\,()

Exempelvis kan man beräkna volymen av en torus (en äpplemunk) med innerradien  radius R-r och yttre radien R+r enligt

V = (\pi r^2)(2\pi R) = 2\pi^2 R r^2.\,

Pappus’s theorem, in mathematics, theorem named for the 4th-century Greek geometer Pappus of Alexandria that describes the volume of a solid, obtained by revolving a plane region D about a line L not intersecting D, as the product of the area of D and the length of the circular path traversed by the centroid of D during the revolution. To Pappus’s theorem [Credit: Encyclopædia Britannica, Inc.]illustrate Pappus’s theorem, consider a circular disk of radius a units situated in a plane, and suppose that its centre is located b units from a line L in the same plane, measured perpendicularly, where b > a. When the disk is revolved … (100 of 323 words)

Dvs genom att integrera tvärsnittsareorna längs tyngdpunktens färdväg.