Kartavbildnings -problemet

Att projicera en tredimensionell yta, t.ex jordgloben, på en tvådimensionell yta är omöjligt o man samtidigt vill behålla proportionerna på ländernas storlek. Eller?

Publicerat i Fysik 1, matematik 4, matematik 5, Mathematical physics, Uncategorized | Märkt , | Lämna en kommentar

En jättegalax

Rubins galax är åtta gånger större än vår egen galax Vintergatan. Dess diameter är 800 000 ljusår och den uppskattas bestå av 1 biljon stjärnor (1:a följd av 12 nollor.)

Rubins galax

Rubins galax befinner sig 326 miljoner ljusår bort.

Publicerat i Astronomy, Fysik 2, Uncategorized | Lämna en kommentar

Bra demonstrationer i mekanik på fysik 2.

Detta galleri innehåller 2 bilder.

Galleri | Lämna en kommentar

Bevisföring

Det finns tre typer av bevis som används i matematiken:
1. Direkta bevis
2. Indirekta bevis
3. Motsägelsebevis

Direkta bevis innebär att man rakt fram bevisar att P – > Q.

Indirekta bevis innebär att man bevisar att icke-Q medför icke-P.
Då har man också visat att P —-> Q.

Motsägelsebevis innebär att man antar motsatsen till vad som skall visas och sedan visar att detta leder till en motsägelse.

Logiken kan sägas vara förmåga. Att dra rätt slutsatser ur givna premisser (syllogism). I klassisk logik kan ett påstående antingen vara sant eller inte. Det finns inget tredje alternativ.

Publicerat i Uncategorized | Lämna en kommentar

Geometrisk härledning av additionsformlerna i trigonometrin

Det går att härledaadditionsformlerna geometriskt.

Publicerat i Uncategorized | Lämna en kommentar

MacLaurin-expansion of cotangens(X)

Det finns en del elegant matematik i MacLaurinutvecklingen av cotangens(x).

Taylorutvecklingen är ett sätt att skriva en funktion som en serie med hjälp av funktionens derivator i en given punkt.  Specialfallet att man beräknar derivatorna för x=0  benämns MacLaurinutvecklingen av funktionen.
Det kan visas att:
f(x) = f(0) + f'(0)x + f”(0)x2/2! + f3(0)x3/3! + ….. 

(vilket är MacLaurinutvecklingen av funktionen f(x)!) 

I vårt fall är f(x) = cot(x) = cos(x)/sin(X).
För att komma vidare ersätts de trigonometriska funktionerna cos(X) och sin(x) med sina respektive MacLaurinutvecklingar:
cos(x) = 1 – x2/2! + x4/4! – …
sin(X) = x – x3/3! + x5/5! – ….

cos(x)/sin(x) = (1 – x2/2! + x4/4! – …)/(x – x3/3! + …)

Faktorisering av nämnaren ger x(1 – x2/3! + ….)

Enligt formeln för summan av den geometriska serien
∑xk = 1/(1-k)

kan man skriva
1/(1 – x2/3! + O(x3))  (där O(x3) sammanfattar alla termer av högre gradtal än 2.)

som
1 + x2/6 + O(x3)+ ….

cos(X)/sin(x) = (1 – x2/2! + O(x3) )(1 + x2/6 + O(x3)) /x = (1 +x2/6 – x2/2! +O(x3))/x =

1/x – x/3 + O(x3)

Som alltså är MacLaurinutvecklingen av cotangens (X).

 

Publicerat i Gymnasiematematik(high school math), matematik 5, teacher's stuff, Uncategorized | Märkt , , | Lämna en kommentar

Konvergenstest

En oändlig series eventuella konvergens kan undersökas med olika tester:

      • Jämförelsetestet– innebär att man jämför den serie man önskar undersöka med en känd serie dvs en serie som masn vet huruvida den konvergerar eller inte. Exempel på sådana är den geometriska serien som konvergerar och den harmoniska serien som divergerar. Om an konvergerar och un < an så konvergerar även ∑ un.
      • Cauchys rottest – innebär att om n√an < 1 så är ∑ an konvergent till n:e termen.
      • d’Alembert’s test– om an+1 /an < 1 så konvergerar serien, om kvoten större än 1 så divergerar den, medan seriens konvergens är obestämd om kvoten är lika med 1.
      • MacLaurins integraltest– Innebär att man jämför serien med en generaliserad integral. Om f(n)=a så konvergerar serien ∑ a n om ∫ f(x) är ändlig.

       

Publicerat i Uncategorized | Lämna en kommentar

New exoplanet and star named after novel written by Harry Martinson

A star and an exoplanet was named ’Aniara’ and ’Isagel’ respectuvely after the sPaceship and its pilot in the novel ’Aniara’ written by literature Nobel laureate Harry Martinson (1904-1978). martinson

Publicerat i Astronomy, Uncategorized | Märkt | Lämna en kommentar

SMS Scharnhorst vrak hittat

https://www.svt.se/nyheter/vrak-fran-forsta-varldskriget-hittat-efter-105-a

På 1610 m djup 180 km sydöst om Falklandsöarna under ett slag under första världskriget. Amiral Maximilian von Spee hade seglat med sin eskader från Tsingtao i Kina vid världskrigets utbrott och försökte ta sig hem till Tyskland genom att runda kap Horn. Vid Coronel halvön i Chile sammandrabbade han med en engelsk kryssareskader och sänkte dem.
För att sedan sjölv bli sänkt, och omkomma, av engelska slagkryssare utanför Falklandsöarna.

Publicerat i Uncategorized | Märkt , | Lämna en kommentar

Calculator programming TI-84

Publicerat i matematik 1c, Uncategorized | Lämna en kommentar