Uppgifter från kap 3 i ma 5000.

Här är en ren textversion som är optimerad för att kopieras och klistras in direkt i ett dokument eller ett anteckningsblock.

---

Sammanfattning: Moduloräkning (Matematik 5)

1. Grundläggande definition

Moduloräkning handlar om att studera resten vid division. Vi säger att talet $a$ är kongruent med $b$ modulo $n$ om de ger samma rest vid division med $n$. Detta skrivs:

,${\displaystyle a\equiv b(\mathrm{mod}n)\iff a,b}$ har samma rest vid division med n ${\displaystyle \iff n|(a-b)}$.

$$a \equiv b \pmod{n}$$

En alternativ definition är att skillnaden mellan talen ska vara delbar med modulet:

n \mid (a – b)

Exempel: $23 \equiv 2 \pmod{7}$ eftersom $23 – 2 = 21$, och 21 är delbart med 7.

2. Räkneregler

Om $a \equiv b \pmod{n}$ och $c \equiv d \pmod{n}$ gäller följande lagar:

• Addition: $a + c \equiv b + d \pmod{n}$
• Subtraktion: $a – c \equiv b – d \pmod{n}$
• Multiplikation: $a \cdot c \equiv b \cdot d \pmod{n}$
• Potenser: $a^k \equiv b^k \pmod{n}$

Varning: Division är inte tillåten på samma enkla sätt. Man får endast dividera båda led med en faktor $k$ om $\text{sgd}(k, n) = 1$ (dvs. om faktorn och modulet inte har några gemensamma delare).

Ex. Addition

${\displaystyle 13+16=29\equiv 4(\mathrm{mod}5)}$

Om vi ersätter talen ovan med andra tal som är kongruenta med de första så får vi samma svar

${\displaystyle 13\equiv 3(\mathrm{mod}5)}$

${\displaystyle 16\equiv 1(\mathrm{mod}5)}$

${\displaystyle 3+1=4\equiv 29(\mathrm{mod}5)}$

3. Strategi för stora potenser

För att beräkna resten av stora tal, t.ex. $3^{82} \pmod{10}$, letar man efter en ”bas” som blir $1$ eller $-1$:

1. Vi vet att $3^4 = 81$.
2. $81 \equiv 1 \pmod{10}$.
3. Skriv om ursprungstalet: $3^{82} = 3^2 \cdot (3^4)^{20}$.
4. Ersätt med kongruenser: $9 \cdot 1^{20} \equiv 9 \pmod{10}$.
5. Svar: Resten är 9.

4. Negativa rester

Det är ofta smidigt att använda negativa rester för att förenkla kalkyler.

Exempel: $13 \pmod{14}$ kan skrivas som $-1 \pmod{14}$.

Eftersom $(-1)^{jämnt} = 1$ och $(-1)^{udda} = -1$ underlättar detta potensräkning avsevärt.

5. Tillämpningsområden

• Diofantiska ekvationer: Lösa $ax + by = c$.
• Delbarhetsproblem: Bevisa egenskaper hos talföljder.
• Kryptografi: Grunden för RSA-algoritmen.
• Kontrollnummer: Validering av personnummer och bankkortnummer via Luhn-algoritmen.

Subtraktion

${\displaystyle 13-16=-3\equiv 2(\mathrm{mod}5)}$

Om vi ersätter talen ovan med andra tal som är kongruenta med de första så får vi samma svar

${\displaystyle 13\equiv 3(\mathrm{mod}5)}$

${\displaystyle 16\equiv 1(\mathrm{mod}5)}$

${\displaystyle 3-1=2\equiv -3(\mathrm{mod}5)}$

Multiplikation

${\displaystyle 13\times 16=208\equiv 3(\mathrm{mod}5)}$

Om vi ersätter talen ovan med andra tal som är kongruenta med de första så får vi samma svar

${\displaystyle 13\equiv 3(\mathrm{mod}5)}$

${\displaystyle 16\equiv 1(\mathrm{mod}5)}$

${\displaystyle 3\times 1=3\equiv 208(\mathrm{mod}5)}$

Division

För division fordras viss försiktighet, vilket t.ex. illustreras av att ${\displaystyle 5\cdot 9\equiv 5\cdot 3(\mathrm{mod}10)}$, men ${\displaystyle 9\not\equiv 3(\mathrm{mod}10)}$; det gäller emellertid att om ${\displaystyle a,b,m,n}$ är heltal, och ${\displaystyle am\equiv bm(\mathrm{mod}n)}$, så ${\displaystyle a\equiv b(\mathrm{mod}n/d)}$ där ${\displaystyle d}$ är den största gemensamma delaren till ${\displaystyle m}$ och ${\displaystyle n}$. Speciellt gäller att om ${\displaystyle am\equiv bm(\mathrm{mod}n)}$, så ${\displaystyle a\equiv b(\mathrm{mod}n)}$ närhelst ${\displaystyle m}$ och ${\displaystyle n}$ är relativt prima (saknar gemensamma delare större än 1).

---

Absolut! Här är presentationen med visuella representationer genererade för varje slide. Jag har skapat dem i en enhetlig, modern och pedagogisk stil som passar för gymnasienivå.

Du kan spara dessa bilder och infoga dem i din PowerPoint-presentation.

---

Slide 1: Titel

Titel: Schrödingerekvationen – Kvantfysikens grundsten

Underrubrik: Från partiklar till vågfunktioner

Innehåll: Namn, Datum, Kurs (Fysik 2/3)

---

Slide 2: Varför behövs en ny fysik?

Problemet: I början av 1900-talet märkte man att Newtons lagar ($F = ma$) inte fungerade på atomnivå.

Dualitet: Partiklar (som elektroner) beter sig ibland som vågor.

Lösningen: Erwin Schrödinger publicerade 1926 en ekvation som beskriver hur dessa ”materievågor” utvecklas över tid.

---

Slide 3: Vad är Schrödingerekvationen?

Definition: Det är en differentialekvation som beskriver det kvantmekaniska tillståndet för ett system.

Den tidsoberoende formen:

$$\hat{H}\psi = E\psi$$

Vad betyder symbolerna?

• $\psi$ (Psi): Vågfunktionen. Innehåller all information om partikeln.
• $\hat{H}$ (Hamiltonoperatorn): En matematisk ”instruktion” som räknar ut systemets energi.
• $E$: Systemets totala energi.

---

Slide 4: Vågfunktionen $\psi$ – Kvantvärldens karta

• $\psi$ i sig har ingen direkt fysisk betydelse.
• Born-tolkningen: Det är kvadraten på vågfunktionen, $|\psi|^2$, som är intressant.
• $|\psi|^2$ anger sannolikhetstätheten för att hitta en partikel på en viss plats.
• Slutsats: Vi kan inte säga exakt var en elektron är, bara var den troligen är.

---

Slide 5: Partikeln i lådan (Ett exempel)

Exempel: En partikel instängd i en ”låda” (en potentialbrunn).

Resultat: Schrödingerekvationen visar att partikeln bara kan ha vissa specifika energinivåer.

Kvantisering: Energin är inte kontinuerlig utan ”paketerad”. Detta förklarar varför atomer har specifika spektrallinjer.

---

Slide 6: Schrödingers katt (Ett tankeexperiment)

Superposition: Används ofta för att illustrera superposition.

Innan mätning: Innan vi mäter (tittar i lådan) befinner sig systemet i en blandning av alla möjliga tillstånd.

Kollaps: Vågfunktionen beskriver alla möjligheter samtidigt fram till en observation sker (”vågfunktionen kollapsar”).

---

Slide 7: Praktiska tillämpningar

Varför läser vi detta? Utan Schrödingerekvationen hade vi inte haft:

• Halvledare: Grunden för alla datorer och mobiler.
• Laser: Används i allt från kirurgi till fiberoptik.
• MRI (Magnetkamera): Sjukvårdens viktigaste diagnosverktyg.
• Modern kemi: Förståelse för hur molekyler binds samman.

---

Slide 8: Sammanfattning

• Schrödingerekvationen ersätter Newtons lagar i mikrokosmos.
• Den beskriver partiklar som vågor av sannolikhet.
• Världen på atomnivå är inte deterministisk (förutsägbar), utan statistisk.
• Citat: ”Gud spelar inte tärning” – sa Einstein (han gillade inte slumpen i ekvationen, men han hade fel!).