Här är en ren textversion som är optimerad för att kopieras och klistras in direkt i ett dokument eller ett anteckningsblock.
Sammanfattning: Moduloräkning (Matematik 5)
1. Grundläggande definition
Moduloräkning handlar om att studera resten vid division. Vi säger att talet $a$ är kongruent med $b$ modulo $n$ om de ger samma rest vid division med $n$. Detta skrivs:
, har samma rest vid division med n .
$$a \equiv b \pmod{n}$$
En alternativ definition är att skillnaden mellan talen ska vara delbar med modulet:
n \mid (a – b)
Exempel: $23 \equiv 2 \pmod{7}$ eftersom $23 – 2 = 21$, och 21 är delbart med 7.
2. Räkneregler
Om $a \equiv b \pmod{n}$ och $c \equiv d \pmod{n}$ gäller följande lagar:
Addition: $a + c \equiv b + d \pmod{n}$
Subtraktion: $a – c \equiv b – d \pmod{n}$
Multiplikation: $a \cdot c \equiv b \cdot d \pmod{n}$
Potenser: $a^k \equiv b^k \pmod{n}$
Varning: Division är inte tillåten på samma enkla sätt. Man får endast dividera båda led med en faktor $k$ om $\text{sgd}(k, n) = 1$ (dvs. om faktorn och modulet inte har några gemensamma delare).
Ex. Addition
Om vi ersätter talen ovan med andra tal som är kongruenta med de första så får vi samma svar
3. Strategi för stora potenser
För att beräkna resten av stora tal, t.ex. $3^{82} \pmod{10}$, letar man efter en ”bas” som blir $1$ eller $-1$:
Vi vet att $3^4 = 81$.
$81 \equiv 1 \pmod{10}$.
Skriv om ursprungstalet: $3^{82} = 3^2 \cdot (3^4)^{20}$.
Ersätt med kongruenser: $9 \cdot 1^{20} \equiv 9 \pmod{10}$.
Svar: Resten är 9.
4. Negativa rester
Det är ofta smidigt att använda negativa rester för att förenkla kalkyler.
Exempel: $13 \pmod{14}$ kan skrivas som $-1 \pmod{14}$.
Eftersom $(-1)^{jämnt} = 1$ och $(-1)^{udda} = -1$ underlättar detta potensräkning avsevärt.
5. Tillämpningsområden
Diofantiska ekvationer: Lösa $ax + by = c$.
Delbarhetsproblem: Bevisa egenskaper hos talföljder.
Kryptografi: Grunden för RSA-algoritmen.
Kontrollnummer: Validering av personnummer och bankkortnummer via Luhn-algoritmen.
Subtraktion
Om vi ersätter talen ovan med andra tal som är kongruenta med de första så får vi samma svar
Multiplikation
Om vi ersätter talen ovan med andra tal som är kongruenta med de första så får vi samma svar
Division
För division fordras viss försiktighet, vilket t.ex. illustreras av att , men ; det gäller emellertid att om är heltal, och , så där är den största gemensamma delaren till och . Speciellt gäller att om , så närhelst och är relativt prima (saknar gemensamma delare större än 1).
När Bagdad intogs av mongolerna i februari 1258 handlade det inte bara om en stad som blev plundrad, utan om att en av världshistoriens mest sofistikerade urbana miljöer raderades ut. Bagdad var vid denna tid känd som ”Fredens stad” (Madinat al-Salam) och var en arkitektonisk triumf.
föreställ dig en stad där världens främsta vetenskapsmän, filosofer och astronomer samlas. En metropol med över en miljon invånare, fylld av storslagen arkitektur, sjukhus och Visdomens hus – dåtidens absolut största och mest ovärderliga bibliotek. Bagdad på 1200-talet var inte bara Abbasidkalifatets hjärta, det var hela världens intellektuella centrum.
Hulagu Khan – sonson till Djingis Khan. Han ledde stormningen av Bagdad. Han var bror till Kubilai Khan.
Här är de mest betydande arkitektoniska förlusterna:
1. Den runda staden (Al-Mansurs Bagdad)
Bagdads ursprungliga kärna var en perfekt cirkel, en hyllning till geometrisk precision och kosmisk ordning.
Murarna: Staden skyddades av tre koncentriska murar. De yttre murarna var massiva och byggda med avancerade portar riktade mot världens fyra hörn.
Palatsen: I centrum stod Guldportens palats med sin ikoniska gröna kupol som höjde sig 40 meter upp i luften. Mongolernas bombardemang och efterföljande bränder förstörde stora delar av denna unika stadsplan.
2. Visdomens hus (Bayt al-Hikma)
Detta var inte bara ett bibliotek utan ett enormt akademiskt komplex. Arkitektoniskt var det en blandning av observatorier, föreläsningssalar och valv fyllda med manuskript. När komplexet förstördes försvann inte bara böckerna, utan även den fysiska infrastrukturen för den tidens främsta forskningsmiljö. Det sägs att Tigris färgades svart av bläcket från böckerna som kastades i floden.
Visdomens hus i Bagdad med medeltidens största i bibliotek.
3. De stora moskéerna och Madrasas
Bagdad var känt för sina storslagna moskéer med intrikat tegelarbete och blå kakeldekor – en föregångare till den arkitektur vi ser i Samarkand senare.
Mustansiriya Madrasa: En av de få strukturer som faktiskt delvis överlevde (och kan besökas idag), men dess interiör och de omgivande byggnaderna plundrades och skadades svårt. Detta var dåtidens mest avancerade universitet.
Fredsmoskén: Den stora fredagsmoskén, som var en symbol för kalifens religiösa auktoritet, brändes ner till grunden under stormningen.
4. Infrastrukturen: Broar och kanaler
Detta är kanske den mest underskattade arkitektoniska förlusten. Bagdad var en stad byggd på vatten.
Pontonbroar: De berömda flytande broarna över Tigris som band samman stadens östra och västra delar förstördes för att hindra flykt och rörelse.
Qanat-systemet: Det sofistikerade nätverket av underjordiska kanaler och akvedukter som försörjde stadens trädgårdar och miljoner invånare med vatten raserades systematiskt. Utan teknisk expertis för att reparera dem förvandlades den grönskande metropolen långsamt till ökenmark.
5. De kungliga trädgårdarna och biblioteken
Bagdad var känt för sina ”paradis-trädgårdar” (vilket gett oss ordet paradis). Dessa var arkitektoniskt utformade med fontäner, kylsystem och paviljonger. Mongolerna använde ofta de dyrbara träden som bränsle för sina belägringsmaskiner eller som foder till sina hästar, vilket utplånade stadens unika gröna lungor.
Varför byggdes det inte upp igen?
Trots att vissa delar restaurerades, förlorade Bagdad sin ekonomiska bas. När de arkitektoniska ritningarna och de tekniska skolorna brann ner, försvann den samlade kunskapen om hur man underhöll stadens komplexa system. Bagdad gick från att vara en global metropol till att bli en regional handelsstad i utkanten av det mongoliska Ilkhanatet.
Och dess storhetstid har ännu inte återkommit. Det var slutet för islams guldålder.
har samma rest vid division med n 
.
, men 
; det gäller emellertid att om 
är heltal, och 
, så 
där 
är den 
och 
. Speciellt gäller att om 
How to draw Exceldiagrams
Miniräknare/calculator
Kristians Kunskapsbank 
