Kategorier
Astronomy Fysik 2 Uncategorized

En jättegalax

Rubins galax är åtta gånger större än vår egen galax Vintergatan. Dess diameter är 800 000 ljusår och den uppskattas bestå av 1 biljon stjärnor (1:a följd av 12 nollor.)

Rubins galax

Rubins galax befinner sig 326 miljoner ljusår bort.

Kategorier
Uncategorized

Bra demonstrationer i mekanik på fysik 2.

Kategorier
Uncategorized

Bevisföring

Det finns tre typer av bevis som används i matematiken:
1. Direkta bevis
2. Indirekta bevis
3. Motsägelsebevis

Direkta bevis innebär att man rakt fram bevisar att P – > Q.

Indirekta bevis innebär att man bevisar att icke-Q medför icke-P.
Då har man också visat att P —-> Q.

Motsägelsebevis innebär att man antar motsatsen till vad som skall visas och sedan visar att detta leder till en motsägelse.

Logiken kan sägas vara förmåga. Att dra rätt slutsatser ur givna premisser (syllogism). I klassisk logik kan ett påstående antingen vara sant eller inte. Det finns inget tredje alternativ.

Kategorier
Uncategorized

Geometrisk härledning av additionsformlerna i trigonometrin

Det går att härledaadditionsformlerna geometriskt.

Kategorier
Gymnasiematematik(high school math) matematik 5 teacher's stuff Uncategorized

MacLaurin-expansion of cotangens(X)

Det finns en del elegant matematik i MacLaurinutvecklingen av cotangens(x).

Taylorutvecklingen är ett sätt att skriva en funktion som en serie med hjälp av funktionens derivator i en given punkt.  Specialfallet att man beräknar derivatorna för x=0  benämns MacLaurinutvecklingen av funktionen.
Det kan visas att:
f(x) = f(0) + f'(0)x + f”(0)x2/2! + f3(0)x3/3! + ….. 

(vilket är MacLaurinutvecklingen av funktionen f(x)!) 

I vårt fall är f(x) = cot(x) = cos(x)/sin(X).
För att komma vidare ersätts de trigonometriska funktionerna cos(X) och sin(x) med sina respektive MacLaurinutvecklingar:
cos(x) = 1 – x2/2! + x4/4! – …
sin(X) = x – x3/3! + x5/5! – ….

cos(x)/sin(x) = (1 – x2/2! + x4/4! – …)/(x – x3/3! + …)

Faktorisering av nämnaren ger x(1 – x2/3! + ….)

Enligt formeln för summan av den geometriska serien
∑xk = 1/(1-k)

kan man skriva
1/(1 – x2/3! + O(x3))  (där O(x3) sammanfattar alla termer av högre gradtal än 2.)

som
1 + x2/6 + O(x3)+ ….

cos(X)/sin(x) = (1 – x2/2! + O(x3) )(1 + x2/6 + O(x3)) /x = (1 +x2/6 – x2/2! +O(x3))/x =

1/x – x/3 + O(x3)

Som alltså är MacLaurinutvecklingen av cotangens (X).