Andraordningens differentialekvationer är ett avancerat ämne i gymnasiet, men det behandlas oftast i den sista matematikkursen (t.ex. Matte 5) och då i en förenklad form.

Här är en sammanfattning som fokuserar på de typer som normalt tas upp på gymnasienivå:

---

Sammanfattning: Andraordningens Differentialekvationer (Gymnasienivå)

En andraordningens differentialekvation är en ekvation som innehåller den andra derivatan (dx2d2y​ eller y′′) av den obekanta funktionen y.

I. Den Homogena Ekvationen

Den vanligaste typen på gymnasiet är den linjära, homogena, andraordningens differentialekvationen med konstanta koefficienter.

Generell form:

ay′′+by′+cy=0

där a, b och c är konstanter (a=0).

Lösningsmetod: Karakteristisk Ekvation

För att lösa denna typ av ekvation ersätter man derivatorna med potenser av en variabel r, vilket ger den karakteristiska ekvationen (en andragradsekvation):

ar2+br+c=0

Lösningarna till andragradsekvationen, r1​ och r2​, bestämmer differentialekvationens allmänna lösning, y.

Tre fall för lösningen (y′′=f(y′,y)):

FallKarakteristisk ekvation (ar2+br+c=0)Rötter (r1​,r2​)Allmän lösning, y1.Två olika reella rötterr1​ och r2​ (r1​=r2​)y=C1​er1​x+C2​er2​x2.En reell dubbelrotr1​=r2​=ry=C1​erx+C2​xerx3.Komplexa rötterr1​=α+iβ och r2​=α−iβy=eαx(C1​cos(βx)+C2​sin(βx))

Där C1​ och C2​ är godtyckliga konstanter som bestäms av begynnelsevillkor (t.ex. värdet på y och y′ vid x=0).

---

II. Förenklade Typer (Reducering av ordning)

Vissa andraordningens differentialekvationer kan lösas genom att först betrakta dem som förstaordningens ekvationer.

1. Saknar y (y′′=f(x,y′))

Om ekvationen inte innehåller y (den obekanta funktionen), kan man substituera:

• Låt z=y′
• Då blir y′′=z′

Ekvationen transformeras då till en förstaordningens ekvation i z:

z′=f(x,z)

Lös först för z(x), och integrera sedan för att få y: y=∫z(x)dx.

2. Saknar y′ (y′′=f(x,y))

Om ekvationen saknar y′ (den första derivatan), är den ofta enklare att integrera direkt:

y′′=f(x)

Integrera två gånger:

1. y′=∫f(x)dx+C1​
2. y=∬f(x)dx2+C1​x+C2​

---

Tillämpningar (Typiskt för Gymnasiet)

Andraordningens differentialekvationer används ofta för att beskriva svängningsrörelser (som pendlar eller fjädrar) inom fysiken.

• Osvängd rörelse (ej dämpad): y′′+ω2y=0 (Ger sinusformade lösningar.)
• Dämpad rörelse: y′′+δy′+ω2y=0 (Ger dämpade sinussvängningar.)