Kategorier
Calculus Gymnasiematematik(high school math) matematik 4

Differentiation of the trigonometric functions

To be able to differentiate the trigonometric functions one needs some standard limits:

With the aid of these and the definition of the derivative

f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}

it is possible to show that

f(x)= sin (x) implies  f ‘(x) = cos(x)

and

f(x) = cos(x) implies f ‘(x) = -sin (x).

Kategorier
Geometri Gymnasiematematik(high school math)

Radians and an attempt at squaring the circle

Katedralen i Siena

That one rotation equals 360 degrees is just a convention, There is nothing partcular about 360 except that it can be divided by many numbers.

Another, and a more fruitful, approach to measuring angles is to use the length of the arc cut out by the angle on the perimeter of the unit-circle.

Since the circumference of the unit-circle is 2π this corresponds to 360 degree

π RADIANS then equal 180degrees and hence 1 radian = 180/π degrees.

It follows that one revolution corresponds to 2π such radians.

http://en.wikipedia.org/wiki/Radian

This reasoning can be expanded to  arbitrary circles having radius r.

Their circumference being 2πr which means 2π radians proving that the angle is equal to 2π radians in this case as well.

To see an attempt to square the circle click on the figure below. Courtesy of Wiking Björkman (my grandfather):

To listen to an 1981 interview (Radio Kronoberg) with him click below
11 Spår 11_(new).mp3

Kategorier
Geometri Gymnasiematematik(high school math) matematik 4

Trigonometric formulae

 


 

The trigonometric functions are defined with the aid of the unit circle as follows:

File:Circle-trig6.svg

The perhaps most important trigonometric formulas from which almost all other trigonometric formulas can be derived are the angle transformation formulas:

\sin (A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B
\sin (A - B) = \sin A \cdot \cos B - \cos A \cdot \sin B
\cos (A + B) = \cos A \cdot \cos B - \sin A \cdot \sin B
\cos (A - B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B
These formulae can be derived by computing the distance between two points on the unit circle  with the distanceformula and with the cosinetheorem and then equating them to each other. 
And by direct application of the Pythagorean theorem on the unit circle one obtains the important relation

\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \
connecting sine and cosine.
 
Kategorier
matematik 3c

Law of Sine Sinussatsen

One useful trigonometric formula can be obtained by expressing the area of an arbitrary triangle with sinus.  

If one then proceeds to divide through by abc/2 one gets the Sinustheorem.

sinA/a = sinB/b= sinC/c

which is a relation between the sinus of the angle A and the side a standing opposite to angle A. By permutating the angles and sides you get the other two relations.

Another important  formula is the cosinetheorem:

c2 = a2+b2 – 2ab cos(c)

\\a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot cos\, \alpha \\.

I angle a=90 this reduces to the Pythagoren theorem.

A beautiful proof  of this formula can be found with the aid of vectoranalysis:

compute (a+b)(a+b) = a2 +b2 + 2 a*b. 

The last term is a scalar product between two vectors

a×b×cos(180-c) = -a×b×cos(c).

This gives the cosinetheorem:

c2 = a2+b2 – 2ab cos(c) Q.E.D.

 

Find the value of x



law_of_sines

Övning 1410 i Sjunnesson: en storks näbb är 26 cm lång. Hur stora matbitar kan den äta om den maximalt kan kan öppna munnen 41 grader?

Cosinussatsen ger:

x^2 = 26^2 + 26^2 – 2 26^2 *cos41 ×

IMG_2140.JPG

Kategorier
Geometri matematik 4

Sinusfunktionen

{\rtf1\ansi\ansicpg1252

{\fonttbl\f0\fnil\fcharset0 HelveticaNeue;}

{\colortbl;\red255\green255\blue255;\red34\green34\blue34;}

\deftab720

\pard\pardeftab720\partightenfactor0
\f0\fs30 \cf2 \expnd0\expndtw0\kerning0

\outl0\strokewidth0 \strokec2 }

Under ett varv genomlöper y-koordinaten för en punkt på cirkelns perimeter värdena 0-1-0-(-1) och sedan återupprepas denna sekvens om och om igen.

Markerar man dessa y-värden i ett koordinatsystem med samhörande vinkel på x-axeln utkristalliserar sig den i fysiken viktiga sinuskurvan.

Det visar sig att alla periodiska processer (vågrörelser såsom ljud, ljus, partiklar, rotationer etc.) matematiskt kan beskrivas med hjälp av summor av sinuskurvor s.k. Fourierserier.

Det maximala utslaget från jämviktsläget benämns Amplituden och avståndet från en vågtopp till nästa är perioden.

Cosinusfunktionen erhålls enkelt genom att man förskjuter sinuskurvan 90 grader åt vänster. Denna funktion genomlöper värdena 1-0-(-1)-0 -1 under en period (= 1 varv dvs 360 grader).

Läs sid. 90-99 i Exponent D.

20120820-093444.jpg

Kategorier
Geometri Gymnasiematematik(high school math) Uncategorized

Lectures on Mathematics

Hej!

Denna blogg tänker jag använda för att lära ut, och lära mig, företrädesevis matematik, fysik och astronomi på gymnasienivå och universitets- högskolenivå. De olika områdena och svårighetsgraderna är indelade i olika kategorier.

Då jag fn undervisar i matematik D startar jag med trigonometri.

Trigonometrin kan härledas ur enhetscirkeln(en cirkel med medelpunkt i origo och radien 1).  Detta gör man genom att man definierar x-koordinaten som cosinus för vinkeln v och y-koordinaten som sinus för vinkeln v för en punkt vilken som helst belägen på cirkelns periferi. v betecknar här vinkeln mellan en visare från origo som pekar på punkten och x-axeln.

enhetunit

Direkt ur denna definition följer centrala samband för sinus och cosinus: -1≤ sin v ≤ 1 och  -1≤ cos v ≤1 dvs de trigonometriska funktionerna oscillerar mellan -1 och 1.

Vidare är det uppenbart att de återkommer till samma värden efter att visaren har snurrat ett eller flera varv i cirkeln. Detta innebär att sinus och cosinus har perioden 360°.

http://ggbtu.be/m1519689

Eftersom alla rätvinkliga trianglar med samma vinklar är likformiga kan man definiera de trigonometriska funktionerna enligt:

File:Circle-trig6.svg

I en  rätvinklig triangel med hypotenusan 1 döper man närliggande kateten till cosinus α och den motstående kateten till sinusα.

Då alla övriga rätvinkliga trianglar med samma spetsiga vinklar är likformiga med denna triangel förhåller sig närliggande katet till hypotenusan som cosinus α även för denna triangel.

Samma sak gäller för kvoten mellan motstående katet och hypotenusan alltid blir lika med sinus (α).

ratvinklig_sin_cos

Två rätvinkliga trianglar av speciellt intresse är den halva kvadraten (45-45-90) och den halva liksidiga triangeln (30-60-90). Efter denna introduktion hänvisas till trigonometri-avsnittet i Exponent D sid.54-65.

Kategorier
Uncategorized

Hello world!