Kategorier
Gymnasiematematik(high school math) matematik 5 teacher's stuff Uncategorized

MacLaurin-expansion of cotangens(X)

Det finns en del elegant matematik i MacLaurinutvecklingen av cotangens(x).

Taylorutvecklingen är ett sätt att skriva en funktion som en serie med hjälp av funktionens derivator i en given punkt.  Specialfallet att man beräknar derivatorna för x=0  benämns MacLaurinutvecklingen av funktionen.
Det kan visas att:
f(x) = f(0) + f'(0)x + f”(0)x2/2! + f3(0)x3/3! + ….. 

(vilket är MacLaurinutvecklingen av funktionen f(x)!) 

I vårt fall är f(x) = cot(x) = cos(x)/sin(X).
För att komma vidare ersätts de trigonometriska funktionerna cos(X) och sin(x) med sina respektive MacLaurinutvecklingar:
cos(x) = 1 – x2/2! + x4/4! – …
sin(X) = x – x3/3! + x5/5! – ….

cos(x)/sin(x) = (1 – x2/2! + x4/4! – …)/(x – x3/3! + …)

Faktorisering av nämnaren ger x(1 – x2/3! + ….)

Enligt formeln för summan av den geometriska serien
∑xk = 1/(1-k)

kan man skriva
1/(1 – x2/3! + O(x3))  (där O(x3) sammanfattar alla termer av högre gradtal än 2.)

som
1 + x2/6 + O(x3)+ ….

cos(X)/sin(x) = (1 – x2/2! + O(x3) )(1 + x2/6 + O(x3)) /x = (1 +x2/6 – x2/2! +O(x3))/x =

1/x – x/3 + O(x3)

Som alltså är MacLaurinutvecklingen av cotangens (X).

 

Kategorier
matematik 1c Philosophy of Science

What is mathematics?

Perhaps after 53 lectures it’s about time that I define what I mean with mathematics?

Mathematics can be defined as the science dealing with quantities, numbers and geometrical objects in particular.

It is characterised by its logical method which consists of drawing logical conclusions from already proven results.  This chain of reasoning can then be traced all the way back to the fundamental axioms.

Kant pointed out that mathematics is a purely theoretical science.

The axiomatic system of  mathematics is independent of the physical world. Still mathematics is of outmost importance for the empirical sciences since it provides a means for constructing mathematical models able to accurately describe and predict outcomes in the  real world.

Immanuel KAnt