Kategorier
Advanced matematik 5 Mathematical physics Uncategorized

Laplacetransformen och Fouriertransformen

Pierre Simon de Laplace

Laplacetransform är en matematisk transform som bland annat används vid analys av linjära system och differentialekvationer. Den är namngiven efter Pierre Simon de Laplace. Transformen avbildar en funktion , definierad på icke-negativa reella tal t ≥ 0, på funktionen , och definieras som:

Laplacetransformen är definierad för de tal (reella eller komplexa) för vilka integralen existerar, vilket vanligen innebär för alla tal med realdel , där är en konstant som beror på ökningen av .

e<sup>-st</sup> benämns kärnan i transformen och skiljer sig åt mellan de olika transformerna.

 

Genom att laplacetransformera en differentialekvation kan den omvandlas till en algebraisk ekvation, som kan vara lättare att lösa. Efter att ha löst den kan uttrycket sedan transformeras tillbaka. Detta är speciellt värdefullt när problemet är diskontinuerligt, och varje intervall måste behandlas för sig. I laplacetransformens algebraiska ekvation blir i stället varje intervall en term i ekvationen.

En fördel med att använda laplacetransformen i stället för den besläktade fouriertransformen är att med den förra kommer begynnelsevärdet att direkt inkluderas i den algebraiska ekvationen.

Tillämpning på differentialekvationslösning:

Genom att laplacetransformera en differentialekvation kan den omvandlas till en algebraisk ekvation, som kan vara lättare att lösa. Efter att ha löst den kan uttrycket sedan transformeras tillbaka. Detta är speciellt värdefullt när problemet är diskontinuerligt, och varje intervall måste behandlas för sig. I laplacetransformens algebraiska ekvation blir i stället varje intervall en term i ekvationen.

En andraordningens differentialekvation kan omvandlas till en första ordningens differentialekvation genom en Laplacetransformation. En tredje ordningens diffekvation kan omvandlas till en andraordningens diffekvation osv.

Därvid förenklas problemet.

En fördel med att använda laplacetransformen i stället för den besläktade fouriertransformen är att med den förra kommer begynnelsevärdet att direkt inkluderas i den algebraiska ekvationen.

Övriga tillämpningar:

Transformationen har en mängd egenskaper som gör den användbar såväl för analys av linjära dynamiska system som vid lösande av differentialekvationer.

I konkreta fysiska system tolkas ofta laplacetransformen som en transformering från tidsdomänen, där indata och utdata ses som funktioner av tiden, till frekvensdomänen, där samma in- och utdata ses som funktioner av komplexa vinkelfrekvenser, eller radianer per tidsenhet. Förutom att ge ett fundamentalt annorlunda sätt att beskriva beteendet hos ett system så gör denna transformering att de matematiska beräkningar som krävs för att analysera systemet blir mycket enklare och mindre komplexa. Det är en kraftfull teknik för analys av system som exempelvis elektriska kretsar, harmoniska oscillatorer, optiska instrument, mekaniska system och reglersystem. Laplacetransformen kan ge en alternativ beskrivning av ett system, vilket ofta drastiskt förenklar analysen av systemets beteende, såväl som skapandet av nya system utifrån givna specifikationer.

 

Ex. Om man Laplacetransformerar rörelseekvationen för Den harmoniska oscillatorn

mX”(t) + kX(t) = 0

med startvillkoren X(0) = X<sub>0</sub> och X'(0) = 0.

Lapalcetransformering ger

mL{X”(t)} + kLX(t) = 0

→ ms2X(s) – msX<sub>0</sub> + kX(s) = 0

X(s) = X0 s/(s2 + ω02)

där &omega;0 = k/m

Detta är Laplacetransformen av cos(&omega;t)

varför X(t) = X0 cos(&omega;0t)

x2

 

 

omvandlas

Kategorier
matematik 5 Uncategorized

Dirichlets lådprincip

Peter lejeune dirichlet

Principen att om man skall placera n+1 st föremål i n st lådor så måste minst en låda innehålla två stycken föremål.

ex. I en grupp på 13 personer har minst två personer födelsedag i samma månad . 
lådorna är här årets 12 månader. 
föremålen är de 13 personerna. 


Denna princip är uppkallad efter Peter Gustav Lejeune-Dirichlet (1805-1859) som var professor I matematik vid universitetet i Göttingen.
Ett kuriosum är att han var gift med Rebecka Mendelssohn som var syster till den världsberömde kompositören Felix Mendelssohn.(1809-1847).

  • Felix Mendelssoh-Bartholdt
Kategorier
Astronomy Philosophy of Science Uncategorized

China launched Rocket bound fort Mars

Kategorier
Uncategorized

How to find Comet NEOWISE.

Om man vill finna kometen NEOWISE så går man tillväga så här:

https://www.nasa.gov/feature/how-to-see-comet-neowise/

Kategorier
Algebra Calculus Gymnasiematematik(high school math) Mathematical physics Uncategorized Vectors

Vektoranalys (Vectoranalysis)

Derivering av vektorer kan ske på två sätt. Antingen som skalärprodukt eller vektorprodukt. Skalärprodukten ( En.dot – product) ger en skalär som resultat. Ett exempel är beräkning av arbete som skalärprodukten av kraften och förflyttningen i kraftens riktning: W = Fs. Den kan beräknas som Bqvcos(α).

Eller i koordinatform:

Fx∙x + Fy∙y

Lorentzkraften som anger hur stor kraft en laddning, Q, som rör sig med hastigheten v i ett magnetfält B påverkas av är ett exempel på en vektorprodukt (En. cross product).
F = qvxB.
Kraften, F, är en vektor som är vinkelrät mot v och B. Dess absolutbelopp kan beräknas som Bqvsin(α). Där &alpha: är vinkeln mellan v och B-vektorerna.

den första kallas divergenten och den sistnämnda rotation,

Enligt Helmholtz sats kan en vektor u delas upp i en irrotationell och en solenoidal del. Ett irrotationellt, eller konservativt vektorfält, har en potentialfunktion. Exempel på konservativa fält är gravitationsfältet och det elektriska fältet. Ett solenoidalt fält saknar plus- och minuspoler dvs laddningar. Exempel på sådana fält är det magnetiska fältet. För den irrationella delen är rotationen av vektorfältet ∇x u = 0 medan divergensen är noll för den solenoidala delen ∇∙u=0.

Här betecknar ∇ summan av den partiella derivatan i x-led, y-led och z-led.
∇= ∂/∂x + ∂/∂y + ∂/∂z vilket tillämpat på en skalär ger gradienten.

 

Divergens (vektoranalys) – Wikipedia

Rotationen anger vridstyrkan i det magnetiska fältet medan divergensen anger källstyrkan.

I koordinatform fås:

En av Maxwells ekvationer är för övrigt just att divergensen av det magnetiska fältet är noll vilket innebär att det inte finns några magnetiska laddningar alltså isolerade nord- och Sydpoler (En. there are no magnetic poles) :

∇∙B = 0.

Deriverar men volymen får man en yta detta använda vid Gauss sats där volymsintegralen av divergensen blir ytintegralen av vektorn. ∰∇∙u dxdydz= ∯udS

Enligt Stokes sats blir ytintegralen av rotationen av en vektor lika med linjeintegralen av vektorn. ∯∇xu dS = ∲u dl.

Kategorier
Astronomy Fysik 1 Fysik 2 Heureka 1 Heureka 2 teacher's stuff

6800 år till nästa passage

Kometen Neowise är nu synlig på natthimlen.
Den har en omloppstid runt solen på 6800 år så passa på.
En komet är en himlakropp som är bunden i omloppsbana runt solen likt planeterna men har en mycket mer excentrisk omloppsbana.
Vilket medför stor omloppstid.

Neowise över Malmö.
Kometen Neowise synlig över Malmö 14/7 2020.

Kategorier
Uncategorized

En bra teori

Skall:
1. Stämma med verkligheten.
2.
Vara motsägelsefri inåt och utåt.
3.
Kunna förutsäga nya saker.
4. Vara enkel.
5. Organisera fakta på ett effektivt sätt.

Den ersätts endast om man hittar en teori som förutsäger fler saker.

Kategorier
Uncategorized

Uppgift 32 blandade övningar i sjunnesson

Kategorier
Gymnasiematematik(high school math) matematik 4 matematik 5 teacher's stuff

‘Bevisens roll i gymnasieskolan’ -examensarbete på gymnasielärarutbildningen 1995 av mig.

SKM_C3350200611112602

SKM_C3350200611112501

SKM_C3350200611112502

SKM_C3350200611112503

SKM_C3350200611112504

SKM_C3350200611112505

SKM_C3350200611112600

SKM_C3350200611112601

Kategorier
matematik 4

Lösning till uppgift 28 Blandade övningar i Sjunnesson ma 5000 matematik 4.

Genomräknad uppgift nr. 28 i Blandade övningar.

Genomräknad uppgift till 3239 i matte 4 5000.