Geometrisk härledning av additionsformlerna i trigonometrin

Det går att härledaadditionsformlerna geometriskt.

Publicerat i Uncategorized | Lämna en kommentar

MacLaurin-expansion of cotangens(X)

Det finns en del elegant matematik i MacLaurinutvecklingen av cotangens(x).

Taylorutvecklingen är ett sätt att skriva en funktion som en serie med hjälp av funktionens derivator i en given punkt.  Specialfallet att man beräknar derivatorna för x=0  benämns MacLaurinutvecklingen av funktionen.
Det kan visas att:
f(x) = f(0) + f'(0)x + f”(0)x2/2! + f3(0)x3/3! + ….. 

(vilket är MacLaurinutvecklingen av funktionen f(x)!) 

I vårt fall är f(x) = cot(x) = cos(x)/sin(X).
För att komma vidare ersätts de trigonometriska funktionerna cos(X) och sin(x) med sina respektive MacLaurinutvecklingar:
cos(x) = 1 – x2/2! + x4/4! – …
sin(X) = x – x3/3! + x5/5! – ….

cos(x)/sin(x) = (1 – x2/2! + x4/4! – …)/(x – x3/3! + …)

Faktorisering av nämnaren ger x(1 – x2/3! + ….)

Enligt formeln för summan av den geometriska serien
∑xk = 1/(1-k)

kan man skriva
1/(1 – x2/3! + O(x3))  (där O(x3) sammanfattar alla termer av högre gradtal än 2.)

som
1 + x2/6 + O(x3)+ ….

cos(X)/sin(x) = (1 – x2/2! + O(x3) )(1 + x2/6 + O(x3)) /x = (1 +x2/6 – x2/2! +O(x3))/x =

1/x – x/3 + O(x3)

Som alltså är MacLaurinutvecklingen av cotangens (X).

 

Publicerat i Gymnasiematematik(high school math), matematik 5, teacher's stuff, Uncategorized | Märkt , , | Lämna en kommentar

Konvergenstest

En oändlig series eventuella konvergens kan undersökas med olika tester:

      • Jämförelsetestet– innebär att man jämför den serie man önskar undersöka med en känd serie dvs en serie som masn vet huruvida den konvergerar eller inte. Exempel på sådana är den geometriska serien som konvergerar och den harmoniska serien som divergerar. Om an konvergerar och un < an så konvergerar även ∑ un.
      • Cauchys rottest – innebär att om n√an < 1 så är ∑ an konvergent till n:e termen.
      • d’Alembert’s test– om an+1 /an < 1 så konvergerar serien, om kvoten större än 1 så divergerar den, medan seriens konvergens är obestämd om kvoten är lika med 1.
      • MacLaurins integraltest– Innebär att man jämför serien med en generaliserad integral. Om f(n)=a så konvergerar serien ∑ a n om ∫ f(x) är ändlig.

       

Publicerat i Uncategorized | Lämna en kommentar

New exoplanet and star named after novel written by Harry Martinson

A star and an exoplanet was named ’Aniara’ and ’Isagel’ respectuvely after the sPaceship and its pilot in the novel ’Aniara’ written by literature Nobel laureate Harry Martinson (1904-1978). martinson

Publicerat i Astronomy, Uncategorized | Märkt | Lämna en kommentar

SMS Scharnhorst vrak hittat

https://www.svt.se/nyheter/vrak-fran-forsta-varldskriget-hittat-efter-105-a

På 1610 m djup 180 km sydöst om Falklandsöarna under ett slag under första världskriget. Amiral Maximilian von Spee hade seglat med sin eskader från Tsingtao i Kina vid världskrigets utbrott och försökte ta sig hem till Tyskland genom att runda kap Horn. Vid Coronel halvön i Chile sammandrabbade han med en engelsk kryssareskader och sänkte dem.
För att sedan sjölv bli sänkt, och omkomma, av engelska slagkryssare utanför Falklandsöarna.

Publicerat i Uncategorized | Märkt , | Lämna en kommentar

Calculator programming TI-84

Publicerat i matematik 1c, Uncategorized | Lämna en kommentar

Titanic återupptar rutten Southhampton – New York 2022

Publicerat i Uncategorized | Lämna en kommentar

Nobelpriset i kemi

Det var upptäckten av litiumbatteriet som belönades.

Det används i mobiltelefoner och bilen Tesla S. https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Tesla_Model_Svvhttps://sv.m.wikipedia.org/wiki/Tesla_Model_ll3FFF8F56-CD43-4FE4-B986-954CB96884DB

Publicerat i Uncategorized | Lämna en kommentar

Nytt engelskt hangarfartyg taget i tjänst

Den 280m långa båten heter ’Queen Elizabeth 2’. Det är världens första hangarfartyg med två torn och den kan medföra 24 f-35 lightning  samt chinook och Westlund Augusta helikoptrar.

4F7EBADC-6C45-4DCE-B9FB-7C1B3441102C

 

Publicerat i Uncategorized | Lämna en kommentar

Reserekommendationer vid resor till svarta hål

Publicerat i Astronomy | Märkt , | Lämna en kommentar