Kategorier
matematik 5 Mathematical physics Uncategorized

Kurvintegraler (lineintegrals)


Olika geometriska objekt kan beskrivas med parameterkurvor.
Till exempel kan enhetscirkeln med medelpunkt i origo beskrivas av:
γ(t) = cos(t) + i sin(t) där t är parametern. Den varierar från 0 till 2π för ett varv.

Enligt Eulers formel kan denna även skrivas som eit.

Att integrera en funktion längs med ett parameterkurva innebär att man substituerar integralens variabel med kurvans parameterfunktion.

Exempel: Integrera funktionen f(z) = z längs en kvarts enhetscirkel. Det vill säga
0 < t < π/2

Då substituerar man z mot eit  → dz/dt = i eit. → dz = i eitdt

∫ eit i eitdt.= i∫ ei2t dt. = i[ei2t ]/(2i) = [ei2/2] = (eiπ – ei20) /2 = ((-1) – 1)/2 = -1

Det kan vara värt att nämna att om man integrerar endast absolutbeloppet av dz = γ dt fås båglängden dvs längden av kurvan.

Ex 2. Bestäm båglängden av enhetscirkeln.

∫ABS(eiti) dt = [t]= 2π ty ABS(ei )= 1.

Q.E.D..

Av mattelararen

Licentiate of Philosophy in atomic Physics
Master of Science in Physics

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google-foto

Du kommenterar med ditt Google-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s