Bra fråga! 🙌

Faltning (på engelska convolution) är en matematisk operation som kombinerar två funktioner för att beskriva hur den ena påverkar den andra. Det används mycket inom signalbehandling, fysik, sannolikhet och differentialekvationer.

📌 Intuition

Tänk dig att du har en signal $f(t)$ (t.ex. musik i en högtalare) och ett filter $g(t)$ (t.ex. rummet med eko).
Faltningen berättar hur signalen kommer att låta efter att ha passerat genom filtret.

📌 Definition

För två funktioner $f(t)$ och $g(t)$ definieras deras faltning så här:

$$
(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \, g(t – \tau) \, d\tau
$$

• Man vänder den ena funktionen ($g$) horisontellt.
• Man förskjuter den längs tidsaxeln.
• Man multiplicerar de två funktionerna där de överlappar.
• Man integrerar summan av alla överlapp.

📌 Exempel

1. Om $f(t)$ och $g(t)$ är sannolikhetsfördelningar → faltningen ger fördelningen av summan av två slumpvariabler.
2. Inom bildbehandling → en bild (f) kan ”filtret” (g) förskönas, t.ex. oskärpa eller kantdetektering.
3. Inom signalbehandling → ljud genom ett filter.

📌 Visuellt

Man kan tänka det som att man ”drar” en kurva över en annan och räknar hur mycket de överlappar för varje position.

Vill du att jag gör en grafisk illustration av faltning (steg för steg med två funktioner som glider över varandra)? Det brukar göra idén mycket tydligare.