Kategori: Calculus

Kategorier
Algebra Calculus Gymnasiematematik(high school math) Mathematical physics Uncategorized Vectors

Vektoranalys (Vectoranalysis)

Derivering av vektorer kan ske på två sätt. Antingen som skalärprodukt eller vektorprodukt. Skalärprodukten ( En.dot – product) ger en skalär som resultat. Ett exempel är beräkning av arbete som skalärprodukten av kraften och förflyttningen i kraftens riktning: W = F ∙ s. Den kan beräknas som Bqvcos(α).

Eller i koordinatform:

Fx∙x + Fy∙y

Lorentzkraften som anger hur stor kraft en laddning, Q, som rör sig med hastigheten v i ett magnetfält B påverkas av är ett exempel på en vektorprodukt (En. cross product).
F = qvxB.
Kraften, F, är en vektor som är vinkelrät mot v och B. Dess absolutbelopp kan beräknas som Bqvsin(α). Där &alpha: är vinkeln mellan v och B-vektorerna.

den första kallas divergenten och den sistnämnda rotation,

Enligt Helmholtz sats kan en vektor u delas upp i en irrotationell och en solenoidal del. Ett irrotationellt, eller konservativt vektorfält, har en potentialfunktion. Exempel på konservativa fält är gravitationsfältet och det elektriska fältet. Ett solenoidalt fält saknar plus- och minuspoler dvs laddningar. Exempel på sådana fält är det magnetiska fältet. För den irrationella delen är rotationen av vektorfältet ∇x u = 0 medan divergensen är noll för den solenoidala delen ∇∙u=0.

Här betecknar ∇ summan av den partiella derivatan i x-led, y-led och z-led.
∇= ∂/∂x + ∂/∂y + ∂/∂z vilket tillämpat på en skalär ger gradienten.

 

Divergens (vektoranalys) – Wikipedia

Rotationen anger vridstyrkan i det magnetiska fältet medan divergensen anger källstyrkan.

I koordinatform fås:

En av Maxwells ekvationer är för övrigt just att divergensen av det magnetiska fältet är noll vilket innebär att det inte finns några magnetiska laddningar alltså isolerade nord- och Sydpoler (En. there are no magnetic poles) :

∇∙B = 0.

Deriverar men volymen får man en yta detta använda vid Gauss sats där volymsintegralen av divergensen blir ytintegralen av vektorn. ∰∇∙u dxdydz= ∯udS

Enligt Stokes sats blir ytintegralen av rotationen av en vektor lika med linjeintegralen av vektorn. ∯∇xu dS = ∲u dl.

Kategorier
Calculus matematik 3c matematik 4 Pythonprogrammering Uncategorized

Pythonkod för beräkning av integraler med rektangelmetoden

#I koden nedan är det bara att ändra y i funktionen f(x) till 
den funktion man skall integrera. 
#Rektangelmetoden
from math import *

def f(x):
    y = x * log(x)
    return y


print ("Numerisk beräkning av integral")
a = float(input("Nedre gräns? "))
b = float(input("Övre gräns? "))
n = int(input("Antal delintervall? "))

dx = (b - a) / n

integral = 0

#Se summaformel i uppgiften
for i in range(0, n):
    integral = integral + ((f(i * dx + dx / 2 + a)) * dx)

print ("I = " + str(integral))
Kategorier
Calculus matematik 3c matematik 4

l´Hôpital’s rules

sin(x)/x = 1 when x approaches infinity. Direct substitution of x=0 gives the indeterminate form 0/0.
The limit of an indeterminate form can be any number. For instance
kx/x= 0 , |x|/x2= &inf; as x tends towards infinty.
Many indeteminate forms can be evaluated with basic algebra.
If this is not possible l’Hôpital’s rule is the solution.

It states that the limit of an indeterminate form equals the limit of the dervative of the nominator and denominator of the indeterminate form.

Kategorier
Calculus Gymnasiefysik(high school physics) matematik 4

Rotationskroppar

Ett elegant sätt att beräkna volymen av kroppar som genereras av en känd funktion s.k. rotationskroppar, är med hjälp av tvärsnittsformeln.

Constructie ellipsoïde
Tanken är att en kurva med känd funktion y=f(x) roteras runt en av koordinataxlarna och därvid genereras en rotationskropp.
Tvärsnittet av denna utgörs av en cirkel med radien f(x). Således är tvärsnittsarean π(f(x))2.
Om man multiplicerar denna area med ett infinitesmalt längdelement får man ett infinitesimalt volymselement. π(f(x))2dx.

<form method=”post”  action=”mailto:Kristian.strid@gmail.com!” >

<textarea namn=”texten” rows=”5″ cols=”30″>

Om man summerar dessa volymselement över hela rotationskroppens längd fås dess totala volym. En sådan summation av infinitesimala cylindrar kan beräknas med en integral.:

V=2\pi \int_a^b x(f(x)) dx

∫π(f(x))2dx från ena änden av kroppen till den andra.

</textarea>

</form>

Ett alternativ är att summera cylindriska skal inifrån rotationskroppen och ut till dess kant.
Ett sådant infinitesimalt skal kan tecknas som 2πf(x)dx.
Integralen blir då

Area av en rotationskropp är

V=2\pi \int_a^b x(f(x)) dx
Kategorier
Advanced Calculus Fysik 2 Mathematical physics

Lagrangian mechanics

In functional analysis the variable itself is a function.

This is used e.g. in the Lagrangian formulation of mechanics where one derives the Lagrangian i.e.
L = kinetic energy – potential energy.

This transforms classical Newtonian mechanics into differentialcalculus.
The variables, or degrees of freedom, can be selected to make the problem as easy as possible. They can be cartesian coordinates, velocities or momentums for example.

By solving Lagrange’sM differential equation the Lagrangian can be found.

A similar system was devsed by William Rowan Hammilton. He studied the hamiltonian for the system. This is the sum of the kinetic and potential energy of the system.

It is used for example in the Schrödinger equation.

https://www.google.se/search?q=lagrange&client=safari&hl=sv-se&prmd=mivn&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=2ahUKEwj7nNudz47gAhUrhaYKHfTmAMwQ_AUoAnoECA0QAg#imgrc=OJ1wq2zLr0WKuMedbeca77-6993-41aa-a628-95f37e159063

Kategorier
Calculus

Spherical harmonics

The spherical harmonics are functions describing the angular dependence of many physical problems e.g solutions to the Schrödinger equation for the hydrogen atom.

If the latitiude is denoted by v and x= cosv then  the equation is

(d/dx){(1 – x2)dPndx} + n(n+1)Pn = 0.

Pn is the spherical harmonics or the Legendre polynomials of degree n.

a more detailde description is found below:

Spherical harmonics

Kategorier
Calculus Gymnasiefysik(high school physics) Thermodynamics

Thermodynamics 2 Entropy

M106-HST-Lgendler

A collection of rembrandts self-portraits serve as an illustration of the passage of time

When left to itself snow spontaneously would never build a snowman.
It will only form different kinds of heaps . This can be undestood as the consequence of statistics: There are more possible arrangements of  the atoms constituting the snow leading to unordered heaps than arrangements resulting in the much more ordered state of a snowman,.

This cicumstance can be described with the concept of statistical weight.

The statistical weight (is the number of microscopic states(ways of arranging the atoms) %omega;corresponding to a certain macroscopic state(the large scale object).
The entropy, S, is defined as
S = k ln Ω
It is a measure of the disorder of the system. In all spontaneous processes the entropy increases because statistically the state with the greatest statistical Weight is more probable.
Such a process is irreversible.

In an adiabatic process no Heath is exchanged with The surroundings.

Kategorier
Calculus Gymnasiematematik(high school math)

MacLaurin-polynomials

→Taylor-expansion is a method of approximating a function f(x) around a point a with a polynomial of the argument x in the vicinity of a. The polynomial itself consists of the derivatives of the function of various orders.

Tn(x) = f(a) + f ‘ (a) (x-a) + f ”(a) (x-a)2/2! +  f(3)(x) (x-a)3/3! + …. + R(x). The Taylor-expansion of the exponential function is:

e<sup>x<\sup> = 1 + x + x2/2 + x3/3! + ……. + xn/n!

To prove the validity of this statement consider the special case of MacLaurin-polynomials were a function is expanded around x=0. Observe the polynomials

p(x) = a +bx + cx2 + dx3

p'(x) = b + 2cx + 3dx2

p”(x) = 2c + 2 *3dx.

x= 0 in each of those equalities and get expressions for the coefficients a,b,c and d. p(0) = a → a=p(0)

p'(0)  = b → b = p'(0)

p”(0) = 2c  → c = p”(0)/2

p(3) (0) = 2•3 d → d= p(3)(0)/ 2•3

Therefore the given polynomial can be written as

 

p(x) = p(0) + p'(0) x + p”(0)x2 /2+ p(3)(0)/3 !+ ……..pn(0) Xn\n!

Kategorier
Calculus Gymnasiematematik(high school math) matematik 4

Integration by parts

Integration by  parts can be regarded as the inverse to the product rule for differentiation. Suppose U(X) and V(x) are  two differentiable functions. According to the product rule

dU(x)V(x)/dx = U(x) dV(x)/dx + V(x)dU(x)/dx = U(x) dV(x)/dx+ V(x)dU(x)/dx

Integrating both sides of this equation and transposing terms, we obtain
∫U(x)dV(x)/dx dx = U(x)V(x) – ∫ V(x)dU/dx dx

This is the general formula for integration by parts.

In each application we break up the integrand into a product of two pieces U and V’:  where  V’ is easier to integrate.

With this method one can differentiate for example lnx.

Let U=lnx then dU/dx = 1/x and dU = dx/x.

and dV = dx → V=x.

∫lnxdx = x lnx – ∫x1/xdx = xlnx – x + C

Q.E.D.

Kategorier
Calculus Gymnasiematematik(high school math) matematik 4

Techniques of integration

If the primitive function of an integrand can be found it is always best to take advantage of the fundamental theorem of calculus.

In order to be able to determine integrals whose indefinte integrals(primitive functions)  cannot be found immediately some of the following motions can be useful:

    1. variablesubstitution: This method can be developed by integrating the chain rule:
  1.     d/dx(f(g(x)) = f´(g(x)) g'(x) This gives:

∫f'(g(x))g'(x)dx = f((g(x)) + C 

Then perform the substitution u = g(x). If we differentiate this we get du = g'(x) dx.

Substitution in the integral above yields the following:
∫ f(g(x)) g'(x) dx = ∫f ‘(u) du = f(u) + C

substituting back to g(x) and we have the answer: f((g(x)) + C. 

Example: Determine ∫x/(x2+1)dx

This integral can be dealt with tby using the substitution

u = x2 + 1.

Then du = 2x dx → x dx = du/2.

Substitution transforms the integral to: ∫du/(2u) = ln|u| + C.

√Substituting back gives us the answer: 0,5·ln|x2 +1| + C = ln√(x2 + 1).