Sinusfunktionen

{\rtf1\ansi\ansicpg1252

{\fonttbl\f0\fnil\fcharset0 HelveticaNeue;}

{\colortbl;\red255\green255\blue255;\red34\green34\blue34;}

\deftab720

\pard\pardeftab720\partightenfactor0
\f0\fs30 \cf2 \expnd0\expndtw0\kerning0

\outl0\strokewidth0 \strokec2 }

Under ett varv genomlöper y-koordinaten för en punkt på cirkelns perimeter värdena 0-1-0-(-1) och sedan återupprepas denna sekvens om och om igen.

Markerar man dessa y-värden i ett koordinatsystem med samhörande vinkel på x-axeln utkristalliserar sig den i fysiken viktiga sinuskurvan.

Det visar sig att alla periodiska processer (vågrörelser såsom ljud, ljus, partiklar, rotationer etc.) matematiskt kan beskrivas med hjälp av summor av sinuskurvor s.k. Fourierserier.

Det maximala utslaget från jämviktsläget benämns Amplituden och avståndet från en vågtopp till nästa är perioden.

Cosinusfunktionen erhålls enkelt genom att man förskjuter sinuskurvan 90 grader åt vänster. Denna funktion genomlöper värdena 1-0-(-1)-0 -1 under en period (= 1 varv dvs 360 grader).

Läs sid. 90-99 i Exponent D.

20120820-093444.jpg

Publicerat i Geometri, matematik 4 | 1 kommentar

Lectures on Mathematics

Hej!

Denna blogg tänker jag använda för att lära ut, och lära mig, företrädesevis matematik, fysik och astronomi på gymnasienivå och universitets- högskolenivå. De olika områdena och svårighetsgraderna är indelade i olika kategorier.

Då jag fn undervisar i matematik D startar jag med trigonometri.

Trigonometrin kan härledas ur enhetscirkeln(en cirkel med medelpunkt i origo och radien 1).  Detta gör man genom att man definierar x-koordinaten som cosinus för vinkeln v och y-koordinaten som sinus för vinkeln v för en punkt vilken som helst belägen på cirkelns periferi. v betecknar här vinkeln mellan en visare från origo som pekar på punkten och x-axeln.

enhetunit

Direkt ur denna definition följer centrala samband för sinus och cosinus: -1≤ sin v ≤ 1 och  -1≤ cos v ≤1 dvs de trigonometriska funktionerna oscillerar mellan -1 och 1.

Vidare är det uppenbart att de återkommer till samma värden efter att visaren har snurrat ett eller flera varv i cirkeln. Detta innebär att sinus och cosinus har perioden 360°.

http://ggbtu.be/m1519689

Eftersom alla rätvinkliga trianglar med samma vinklar är likformiga kan man definiera de trigonometriska funktionerna enligt:

File:Circle-trig6.svg

I en  rätvinklig triangel med hypotenusan 1 döper man närliggande kateten till cosinus α och den motstående kateten till sinusα.

Då alla övriga rätvinkliga trianglar med samma spetsiga vinklar är likformiga med denna triangel förhåller sig närliggande katet till hypotenusan som cosinus α även för denna triangel.

Samma sak gäller för kvoten mellan motstående katet och hypotenusan alltid blir lika med sinus (α).

ratvinklig_sin_cos

Två rätvinkliga trianglar av speciellt intresse är den halva kvadraten (45-45-90) och den halva liksidiga triangeln (30-60-90). Efter denna introduktion hänvisas till trigonometri-avsnittet i Exponent D sid.54-65.

Publicerat i Geometri, Gymnasiematematik(high school math), Uncategorized | Märkt , , | 1 kommentar

Hello world!

Publicerat i Uncategorized | 3 kommentarer