Kategorier
Algebra Calculus Gymnasiematematik(high school math) Mathematical physics Uncategorized Vectors

Vektoranalys (Vectoranalysis)

Derivering av vektorer kan ske på två sätt. Antingen som skalärprodukt eller vektorprodukt. Skalärprodukten ( En.dot – product) ger en skalär som resultat. Ett exempel är beräkning av arbete som skalärprodukten av kraften och förflyttningen i kraftens riktning: W = Fs. Den kan beräknas som Bqvcos(α).

Eller i koordinatform:

Fx∙x + Fy∙y

Lorentzkraften som anger hur stor kraft en laddning, Q, som rör sig med hastigheten v i ett magnetfält B påverkas av är ett exempel på en vektorprodukt (En. cross product).
F = qvxB.
Kraften, F, är en vektor som är vinkelrät mot v och B. Dess absolutbelopp kan beräknas som Bqvsin(α). Där &alpha: är vinkeln mellan v och B-vektorerna.

den första kallas divergenten och den sistnämnda rotation,

Enligt Helmholtz sats kan en vektor u delas upp i en irrotationell och en solenoidal del. Ett irrotationellt, eller konservativt vektorfält, har en potentialfunktion. Exempel på konservativa fält är gravitationsfältet och det elektriska fältet. Ett solenoidalt fält saknar plus- och minuspoler dvs laddningar. Exempel på sådana fält är det magnetiska fältet. För den irrationella delen är rotationen av vektorfältet ∇x u = 0 medan divergensen är noll för den solenoidala delen ∇∙u=0.

Här betecknar ∇ summan av den partiella derivatan i x-led, y-led och z-led.
∇= ∂/∂x + ∂/∂y + ∂/∂z vilket tillämpat på en skalär ger gradienten.

 

Divergens (vektoranalys) – Wikipedia

Rotationen anger vridstyrkan i det magnetiska fältet medan divergensen anger källstyrkan.

I koordinatform fås:

En av Maxwells ekvationer är för övrigt just att divergensen av det magnetiska fältet är noll vilket innebär att det inte finns några magnetiska laddningar alltså isolerade nord- och Sydpoler (En. there are no magnetic poles) :

∇∙B = 0.

Deriverar men volymen får man en yta detta använda vid Gauss sats där volymsintegralen av divergensen blir ytintegralen av vektorn. ∰∇∙u dxdydz= ∯udS

Enligt Stokes sats blir ytintegralen av rotationen av en vektor lika med linjeintegralen av vektorn. ∯∇xu dS = ∲u dl.

Kategorier
Gymnasiematematik(high school math) matematik 4 matematik 5 teacher's stuff

‘Bevisens roll i gymnasieskolan’ -examensarbete på gymnasielärarutbildningen 1995 av mig.

SKM_C3350200611112602

SKM_C3350200611112501

SKM_C3350200611112502

SKM_C3350200611112503

SKM_C3350200611112504

SKM_C3350200611112505

SKM_C3350200611112600

SKM_C3350200611112601

Kategorier
Gymnasiematematik(high school math) matematik 5 teacher's stuff Uncategorized

MacLaurin-expansion of cotangens(X)

Det finns en del elegant matematik i MacLaurinutvecklingen av cotangens(x).

Taylorutvecklingen är ett sätt att skriva en funktion som en serie med hjälp av funktionens derivator i en given punkt.  Specialfallet att man beräknar derivatorna för x=0  benämns MacLaurinutvecklingen av funktionen.
Det kan visas att:
f(x) = f(0) + f'(0)x + f”(0)x2/2! + f3(0)x3/3! + ….. 

(vilket är MacLaurinutvecklingen av funktionen f(x)!) 

I vårt fall är f(x) = cot(x) = cos(x)/sin(X).
För att komma vidare ersätts de trigonometriska funktionerna cos(X) och sin(x) med sina respektive MacLaurinutvecklingar:
cos(x) = 1 – x2/2! + x4/4! – …
sin(X) = x – x3/3! + x5/5! – ….

cos(x)/sin(x) = (1 – x2/2! + x4/4! – …)/(x – x3/3! + …)

Faktorisering av nämnaren ger x(1 – x2/3! + ….)

Enligt formeln för summan av den geometriska serien
∑xk = 1/(1-k)

kan man skriva
1/(1 – x2/3! + O(x3))  (där O(x3) sammanfattar alla termer av högre gradtal än 2.)

som
1 + x2/6 + O(x3)+ ….

cos(X)/sin(x) = (1 – x2/2! + O(x3) )(1 + x2/6 + O(x3)) /x = (1 +x2/6 – x2/2! +O(x3))/x =

1/x – x/3 + O(x3)

Som alltså är MacLaurinutvecklingen av cotangens (X).

 

Kategorier
Fysik 2 Gymnasiefysik(high school physics) Gymnasiematematik(high school math) Uncategorized

Foucaultpendeln.

Hur bevisar man att jorden roterar runt sin egen axel? Leon Foucault insåg att det kan göras genom att man hänger upp en lång pendel i en hög byggnad och sätter den i svängning. Vid ekvatorn kommer då svängningsplanet att vara oförändrat medan jorden vrider sig under den. Han gjorde detta berömda försök i Pantheon i Paris år 1851.
Det är viktigt att upphängningsmekanismen är friktionsfri. Pendolo_di_Foucault,_Siena,_Liceo_Scientifico_Galileo_Galilei
På så sätt kan man få den att pendla i flera timmar, och efter ett tag kan man se att den inte längre rör sig i samma riktning som när den startade. Detta beror på att jorden under tiden har roterat runt sin axel, och på grund av Corioliseffekten följer pendeln inte riktigt med i denna rotation utan ”dröjer kvar” mer eller mindre i den riktning den ursprungligen började svänga i.

Kategorier
Gymnasiematematik(high school math) teacher's stuff Uncategorized

Digiexam – göra prov på datorn

Digiexam, https://www.digiexam.se/sv/ erbjuder en möjlighet att göra prov på datorn.

Kategorier
Gymnasiematematik(high school math) matematik 1c

Matematikens Historia

Kategorier
Fysik 2 Gymnasiefysik(high school physics) Gymnasiematematik(high school math) Thermodynamics

Termodynamik tre. Svartkroppstrålning

https://i2.wp.com/apod.nasa.gov/apod/image/9707/vega_dm.jpg

Alla föremål med en temperatur över den absoluta nollpunkten emitterar värmeenergi. Detta pga den termiska rörelsen hos dess atomer. Enligt elektrodynamiken emitterar nämligen accelererande laddningar i rörelse elektromagnetisk strålning sk synkrotronljusstrålning.

En idealiserad strålare vars spektrala strålningsfördelning endast beror på kroppens temperatur kallas en svartkroppstrålare. Den har samma absorptionskoefficient som emissionskoefficient.

α = ε.

Den kan åskådliggöras med en box med en liten öppning och sotad insida.

Överraskande nog beter sig även stjärnor som ideala svartkroppstrålare.

Den spektrala intensitetsfördelningen av strålningen kallas Planckkurvan efter upptäckaren Max Planck.

Arean under kurvan ger den totalt utstrålade intensiteten I = σ T4. Derivering ger maxpunkten dvs den våglängd för vilken maximal energi utstrålning sker. Den sk

Wien’s lag:       λTmax = k.

Kategorier
Fysik 1 Gymnasiematematik(high school math) matematik 1c Uncategorized

Procenträkning (Percentage calculation)

20131031-174156.jpg
Akropolis i pastell. Artist:Kristian Strid

Redan under antiken räknade man med procent. Ordet procent kommer från latinet och betyder per hundra. I vår tid betyder det hundradel.

Således gäller att:

5% = 5/100 = 0,05.

Man kan indela alla procentproblem i tre kategorier:

  1. Beräkna andelen(calculate the proportion)
  2. Beräkna delen(calculate the part)
  3. Beräkna det hela (calculate it all)

Exempel på problem ett är att t.ex följande: Hur många procent är 40 plommon av ett parti på 200 plommon ? 

Det löser man genom att man dividerar delen med det hela:

40/200 = 0,20 = 20% .

Ett exempel på problem av typ två är följande: Hur mycket är 25% av 4 000 personer?

Det löser man genom att först beräkna en procent av 4 000 personer: 4000/100 = 40 st personer. Sedan multiplicerar man detta med 25:  25 x 40 = 1 000 personer. 

Man kan genomföra dessa båda steg på en gång genom att multiplicera 4 000 med 0,25 direkt: 0,25 · 4 000 = 1 000 personer.  

Den tredje typen av problem kan se ut enligt följande: Pernilla fick ett år 700 kr i ränta på sitt bankkonto där räntesatsen var 3,50%. Hur mycket pengar hade Pernilla på sitt bankkonto vid årets början om inga insättningar gjordes under året? 

Här beräknar man först vad en procent av kapitalet är: 700/3,50 kr = 200 kr. 

Sedan multiplicerar man detta med 100 så fär man fram hela beloppet:

100 ·200 kr = 20 000 kr.  

Det är också viktigt att skilja mellan procent och procent enheter.

Antag att andelen arbetslösa ökar från 10 till 12 %.

Då är ökningen 2 procentenheter men 2/10 = 20%.

Förändringsfaktor:

Med förändringsfaktor kan man enkelt räkna ut det nya värdet

nya värdet = förändringsfaktorn · gamla värdet 

Förändringsfaktorn får man fram genom att ta 1 + r där r är procentuella ökningen eller minskningen i decimalform.

Ex Priset på en vara ökar med 5% ger en förändringsfaktor 1 + o.o5 = 1.05.

Sänkning med 30% ger ff = 1-0.30 = 0.70.

En fördel med ff är att man enkelt kan beräkna upprepade förändringar:

Höjning med 5% och sänkning med 30% ger 1.05 &middot0.70 · gamla priset.

10 års ränta på ränta med 5% räntesats ger på 10 000 kr insättning ger

1.0510 · 10 000 kr

Kategorier
Algebra Gymnasiematematik(high school math) matematik 5

Eulers polyederformula

Definition: A graph is called planar if can be drawn in one plane without any arcs crossing each other.

Definintion: The graph G = (V,E) is called bipartite if the nodes can be divided into two disjunct parts V = V1∨ V2. where V1dosen’t have any elemenets in common with V2.

Eulers polyhedronformula: Let G = (V, E) be a planar, connected graph and let v denote the number of nodes, e the number of arcs and r be the number of surfaces. Then

v – e + r = 2.

Ex. For the dodecaedron, the number of surfaces is 12 similar pentagons. v = 20, e = 30 and r = 12.

Kategorier
Algebra Gymnasiematematik(high school math) Uncategorized

More Graphtheory

More graph-terminology:
The distance between two nodes is the shortest distance between the two nodes.
A graph that starts and ends in the same node is called a cycle or a closed circuit.
A simple path trespasses every node only once.

Let n be a node in a graph or multigraph G. The degree or valence of v is the number of arcs having an endpoint in v.
This number can be written as deg(v).
The handshaking lemma: At a large party where everybody shakes hand but not with everybody the number of persons having shaken hand an odd number of times is even.

a graph where it is allowed to pass a node several times is called a
multi-graph.

a complete graph is a graph without loops and where every pair of nodes are connected with an arc.

Ex. Let G be a loop-free graph with n nodes, such that G has 175 arcs and its complement has 56 arcs. Determine n.
Solution: The totla number of arcs in G and its complement equals the number of arcs in the complete graph Kn.
Therefore 175 + 56 = n(n-2)/2 or ”n over 2” &imp; 231 = n(n-1)/2 &imp; n=22 ∧ n=-21.