Kristians Kunskapsbank

Pierre Simon de Laplace

Laplacetransform är en matematisk transform som bland annat används vid analys av linjära system och differentialekvationer. Den är namngiven efter Pierre Simon de Laplace. Transformen avbildar en funktion , definierad på icke-negativa reella tal t ≥ 0, på funktionen , och definieras som:

Laplacetransformen är definierad för de tal (reella eller komplexa) för vilka integralen existerar, vilket vanligen innebär för alla tal med realdel , där är en konstant som beror på ökningen av .

e^-st benämns kärnan i transformen och skiljer sig åt mellan de olika transformerna.

Genom att laplacetransformera en differentialekvation kan den omvandlas till en algebraisk ekvation, som kan vara lättare att lösa. Efter att ha löst den kan uttrycket sedan transformeras tillbaka. Detta är speciellt värdefullt när problemet är diskontinuerligt, och varje intervall måste behandlas för sig. I laplacetransformens algebraiska ekvation blir i stället varje intervall en term i ekvationen.

En fördel med att använda laplacetransformen i stället för den besläktade fouriertransformen är att med den förra kommer begynnelsevärdet att direkt inkluderas i den algebraiska ekvationen.

Tillämpning på differentialekvationslösning:

Genom att laplacetransformera en differentialekvation kan den omvandlas till en algebraisk ekvation, som kan vara lättare att lösa. Efter att ha löst den kan uttrycket sedan transformeras tillbaka. Detta är speciellt värdefullt när problemet är diskontinuerligt, och varje intervall måste behandlas för sig. I laplacetransformens algebraiska ekvation blir i stället varje intervall en term i ekvationen.

En andraordningens differentialekvation kan omvandlas till en första ordningens differentialekvation genom en Laplacetransformation. En tredje ordningens diffekvation kan omvandlas till en andraordningens diffekvation osv.

Därvid förenklas problemet.

En fördel med att använda laplacetransformen i stället för den besläktade fouriertransformen är att med den förra kommer begynnelsevärdet att direkt inkluderas i den algebraiska ekvationen.

Övriga tillämpningar:

Transformationen har en mängd egenskaper som gör den användbar såväl för analys av linjära dynamiska system som vid lösande av differentialekvationer.

I konkreta fysiska system tolkas ofta laplacetransformen som en transformering från tidsdomänen, där indata och utdata ses som funktioner av tiden, till frekvensdomänen, där samma in- och utdata ses som funktioner av komplexa vinkelfrekvenser, eller radianer per tidsenhet. Förutom att ge ett fundamentalt annorlunda sätt att beskriva beteendet hos ett system så gör denna transformering att de matematiska beräkningar som krävs för att analysera systemet blir mycket enklare och mindre komplexa. Det är en kraftfull teknik för analys av system som exempelvis elektriska kretsar, harmoniska oscillatorer, optiska instrument, mekaniska system och reglersystem. Laplacetransformen kan ge en alternativ beskrivning av ett system, vilket ofta drastiskt förenklar analysen av systemets beteende, såväl som skapandet av nya system utifrån givna specifikationer.

Ex. Om man Laplacetransformerar rörelseekvationen för Den harmoniska oscillatorn

mX”(t) + kX(t) = 0

med startvillkoren X(0) = X₀ och X'(0) = 0.

Lapalcetransformering ger

mL{X”(t)} + kLX(t) = 0

→ ms²X(s) – msX₀ + kX(s) = 0

X(s) = X0 s/(s² + ω0²)

där ω0 = k/m

Detta är Laplacetransformen av cos(ωt)

varför X(t) = X0 cos(ω0t)

x²

omvandlas