Kristians Kunskapsbank

Olika geometriska objekt kan beskrivas med parameterkurvor.
Till exempel kan enhetscirkeln med medelpunkt i origo beskrivas av:
γ(t) = cos(t) + i sin(t) där t är parametern. Den varierar från 0 till 2π för ett varv.

Enligt Eulers formel kan denna även skrivas som e^it.

Att integrera en funktion längs med ett parameterkurva innebär att man substituerar integralens variabel med kurvans parameterfunktion.

Exempel: Integrera funktionen f(z) = z längs en kvarts enhetscirkel. Det vill säga
0 < t < π/2

Då substituerar man z mot e^it  → dz/dt = i e^it. → dz = i e^itdt

∫ e^it i e^itdt.= i∫ e^i2t dt. = i[e^i2t ]/(2i) = [e^i2t /2] = (e^iπ – eⁱ²⁰⁾ /2 = ((-1) – 1)/2 = -1

Det kan vara värt att nämna att om man integrerar endast absolutbeloppet av dz = γ dt fås båglängden dvs längden av kurvan.

Ex 2. Bestäm båglängden av enhetscirkeln.

∫ABS(e^iti) dt = [t]= 2π ty ABS(eⁱ )= 1.

Q.E.D..