Kristians Kunskapsbank

BB 16000 lok. Drar passagerartåg

I SNCF tidtabellen för året kan man utläsa att tågresan mellan Paris och Nice tar 6h 20′. Då man vet att avståndet mellan dessa båda orter är 105 mil kan man beräkna medelhastigheten för denna resa. Det gör man genom att dividera sträckan med tiden. 1050/6,3= 167 km/h.
Den beräknade medelhastigheten håller tåget dock inte hela resan. Tåget gör uppehåll på ett antal stationer t.ex Aix -en-Provence kl. 17.45, Cannes kl.22.54 och Antibes kl. 23.00.
Då kan man ställa frågan vilken hastighet tåget har vid en viss tidpunkt?
Denna så kalllade momentanhastighet fås genom att man beräknar derivatan i vid denna tidpunkt.
geometriskt innebär derivatan tangentens lutning i en viss punkt. För att beräkna denna använder maan sig av den vanliga metoden för att beräkna en linjes lutning. Nämligen den så kallade ändringskvoten. k=Δy/Δx.
För en linje som hela tiden har samma lutning sammanfaller medelhastigheten och momentanhastigheten är denna lutning även derivata.
För övriga typer av funktioner varierar lutningen oavbrutet. Då uppstår behovet att beräkna lutningen i en viss punkt.
Rent tekniskt löses detta med hjälp av gränsvärdesbegreppet. Man tänker sig att den ena punkten får närma sig den andra varvid man beräknar lutningen mellan två punkter på oändligt litet avstånd från varandra sk infinitesimalt avstånd.

Detta kan beräknas med gränsvärdet
f'(x) = (f(x+h) – f(x))/h där h går mot 0.

Med hjälp av denna kan deriveringsregler härledas för olika funktioner:

Följande tabell är hämtad från den italienska matematiksiten Math.it

https://www.math.it/formulario/derivate.htm
FORMULARIO: tavola delle derivate fondamentali

.         
funzione costante:

y = k    

Potensfunktionen:

formula
         

logaritmiska funktioner

Trigonometriska funktioner

   y’ = -sin x

Inversa trigonometriska funktioner

               
REGOLE DI DERIVAZIONE

Derivatan av en produkt, en kvot och en sammansatt funktion:

derivata di un prodotto: formula

derivata di un rapporto: formula

derivata di una funzione composta (funzione di funzione):