Rotationskroppar

Ett elegant sätt att beräkna volymen av kroppar som genereras av en känd funktion s.k. rotationskroppar, är med hjälp av tvärsnittsformeln.

Tanken är att en kurva med känd funktion y=f(x) roteras runt en av koordinataxlarna och därvid genereras en rotationskropp.
Tvärsnittet av denna utgörs av en cirkel med radien f(x). Således är tvärsnittsarean π(f(x))².
Om man multiplicerar denna area med ett infinitesmalt längdelement får man ett infinitesimalt volymselement. π(f(x))²dx.

Om man summerar dessa volymselement över hela rotationskroppens längd fås dess totala volym. En sådan summation av infinitesimala cylindrar kan beräknas med en integral.:

$V=2\pi \int_a^b x(f(x)) dx$

∫π(f(x))²dx från ena änden av kroppen till den andra.

</textarea>

</form>

Ett alternativ är att summera cylindriska skal inifrån rotationskroppen och ut till dess kant.
Ett sådant infinitesimalt skal kan tecknas som 2πf(x)dx.
Integralen blir då

Area av en rotationskropp är

$V=2\pi \int_a^b x(f(x)) dx$