Kategorier
Algebra Calculus Gymnasiematematik(high school math) Mathematical physics Uncategorized Vectors

Vektoranalys (Vectoranalysis)

Derivering av vektorer kan ske på två sätt. Antingen som skalärprodukt eller vektorprodukt. Skalärprodukten ( En.dot – product) ger en skalär som resultat. Ett exempel är beräkning av arbete som skalärprodukten av kraften och förflyttningen i kraftens riktning: W = Fs. Den kan beräknas som Bqvcos(α).

Eller i koordinatform:

Fx∙x + Fy∙y

Lorentzkraften som anger hur stor kraft en laddning, Q, som rör sig med hastigheten v i ett magnetfält B påverkas av är ett exempel på en vektorprodukt (En. cross product).
F = qvxB.
Kraften, F, är en vektor som är vinkelrät mot v och B. Dess absolutbelopp kan beräknas som Bqvsin(α). Där &alpha: är vinkeln mellan v och B-vektorerna.

den första kallas divergenten och den sistnämnda rotation,

Enligt Helmholtz sats kan en vektor u delas upp i en irrotationell och en solenoidal del. Ett irrotationellt, eller konservativt vektorfält, har en potentialfunktion. Exempel på konservativa fält är gravitationsfältet och det elektriska fältet. Ett solenoidalt fält saknar plus- och minuspoler dvs laddningar. Exempel på sådana fält är det magnetiska fältet. För den irrationella delen är rotationen av vektorfältet ∇x u = 0 medan divergensen är noll för den solenoidala delen ∇∙u=0.

Här betecknar ∇ summan av den partiella derivatan i x-led, y-led och z-led.
∇= ∂/∂x + ∂/∂y + ∂/∂z vilket tillämpat på en skalär ger gradienten.

 

Divergens (vektoranalys) – Wikipedia

Rotationen anger vridstyrkan i det magnetiska fältet medan divergensen anger källstyrkan.

I koordinatform fås:

En av Maxwells ekvationer är för övrigt just att divergensen av det magnetiska fältet är noll vilket innebär att det inte finns några magnetiska laddningar alltså isolerade nord- och Sydpoler (En. there are no magnetic poles) :

∇∙B = 0.

Deriverar men volymen får man en yta detta använda vid Gauss sats där volymsintegralen av divergensen blir ytintegralen av vektorn. ∰∇∙u dxdydz= ∯udS

Enligt Stokes sats blir ytintegralen av rotationen av en vektor lika med linjeintegralen av vektorn. ∯∇xu dS = ∲u dl.

Kategorier
matematik 1c Vectors

Interaktivt lineär algebra program

Mycket värdefullt för studier i lineär algebra är

http://immersivemath.com

Bra på perspektiv var han Canaletto!
Bra på perspektiv var han Canaletto!
Kategorier
Geometri matematik 1c Vectors

Linear dependence

Pic of Rosa Mundi historic rose from 1581The vectors P1, P2, P3, … are said to be linearly dependent if the real numbers k1, k2, k3, .. not all zero can be found so that

k1P1 + k2P2 + ….. + knPn = 0.

Since it is possible to solve for e.g. P1= -k2P2/k1-k3P3/k1-….

This means that all the vectors lie on the same line through the origin.

Conversely, if two vectors lie along the same line they are linearly dependent vectors.

A set of vectors which are not dependent are said to be

linearly independent.

An example of linearly independent vectors are E1 = (1,0) and E2 = (0,1).

They form the basis for the two dimensional vector-space. In favt any two linearly-independent vectors can form the basis of a two dimensional vector space. The dimension is identical to the number of vectors necessary.

Two geometric formulae:

Menelaos theorem: A line cuts the sides BC, CA and AB of a triangel in the points L, M and N respectively. If L = xB + x’C + y’A, M = yC + y’A and

N = zA + z’B, where x +x’ = y + y’ = z +z’ = 1,

then xyz = -x’y’z’.

Kategorier
Calculus Uncategorized Vectors

Divergence and curl of vectorfields

PEar tree 'Gris Bonne'
Pyrus Communis (pear tree) ‘Gris Bonne’

According to the Helmholtz-theorem a vectorfield is completely defined by the divergence and  curl of the vectorfield.

the divergence is a measure of the strength of the source of the vectorfield whereas the degree of rotation of the field is given by the curl.

The divergence is defined as  ·F  = lim Δv→0 ∫A ds/Δv i.e. the scalarproduct(dotproduct) of the nabla operator and the vector.

The ∇-operator is defined as the vector differential operator
∇=∂/∂x + ∂/∂y + ∂/∂z.

When this operates on a scalar V one obtains the gradient  V of that scalar i.e. a vector that represents both the magnitude and the direction of the maximum space rate of increase of  of that scalar.

The curl is defined by

∇xF. = (dFz/dy – dFy/dz) i + (dFx/dz – dFz/dx)j + (dFy/dx – dFx/dy) k

The electromagnetic field is defined by the divergence and curl of the Electric field vector E and the magnetic field vector B:
∇· E= ρ

∇xE=∂B/∂t

∇· B=0; This can be interpretated as stating the fact that there are no magnetic charges.
∇xB=∂D/∂t

These are the famous Maxwellian equations which gives a full description of the electromagnetic theory.
Every electromagnetic law can be deduced from them.