Det finns en del elegant matematik i MacLaurinutvecklingen av cotangens(x).

Taylorutvecklingen är ett sätt att skriva en funktion som en serie med hjälp av funktionens derivator i en given punkt.  Specialfallet att man beräknar derivatorna för x=0  benämns MacLaurinutvecklingen av funktionen.
Det kan visas att:
f(x) = f(0) + f'(0)x + f”(0)x²/2! + f³(0)x³/3! + ….. 

(vilket är MacLaurinutvecklingen av funktionen f(x)!) 

I vårt fall är f(x) = cot(x) = cos(x)/sin(X).
För att komma vidare ersätts de trigonometriska funktionerna cos(X) och sin(x) med sina respektive MacLaurinutvecklingar:
cos(x) = 1 – x²/2! + x⁴/4! – …
sin(X) = x – x³/3! + x⁵/5! – ….

cos(x)/sin(x) = (1 – x²/2! + x⁴/4! – …)/(x – x³/3! + …)

Faktorisering av nämnaren ger x(1 – x²/3! + ….)

Enligt formeln för summan av den geometriska serien
∑x^k = 1/(1-k)

kan man skriva
1/(1 – x²/3! + O(x³))  (där O(x³) sammanfattar alla termer av högre gradtal än 2.)

som
1 + x²/6 + O(x³)+ ….

cos(X)/sin(x) = (1 – x²/2! + O(x³) )(1 + x²/6 + O(x³)) /x = (1 +x²/6 – x²/2! +O(x³))/x =

1/x – x/3 + O(x³)

Som alltså är MacLaurinutvecklingen av cotangens (X).