Pluto och andra kosmiska långresor

Publicerat den maj 26, 2014 av mattelararen

800px-Pioneer_plaque_(transparent).svg

För nio år sedan, år 2005, sköts rymdsonden New Horizons upp med siktet inställt på dvärgplaneten, eller planetoiden, Pluto.
Denna betraktdes länge som den yttersta planeten i solsystemet men sedan man insett att den är mindre än tex månen införde man som kriterium för att klassificeras som en planet att himlakroppen måste kunna hålla sig med en egen atmosfär dvs ha tillräcklig gravitation för att klara den uppgiften. Detta strök Pluto från listan.
Nästa år i Juli flyger New Horizons förbi Pluto och dess jämnstora måne Charon.

Endast fyra andra sonder byggda av människan har tidigare befunnit sig så långt bort från jorden. Det är Voyager 1 och 2 samt Pioneer 10 och 11.

Publicerat i Fysik 1, Uncategorized | Märkt | Lämna en kommentar

Fakulteter vs. Potenser (factorials)

Publicerat den maj 10, 2014 av mattelararen

Uppgift: avgör om 1995 1995
> 1996!

lösning:

1996! = 1∙ 2 ∙…..1994 ∙ 1995 ∙1996

Här är det lämpligt att utnyttja konjugatregeln
1994 ∙ 1996 = (1995-1)(1995+1) = 19952 -1 < 19952.

detta medför att 19951995 > 1996!
QED.

Publicerat i matematik 2c, Uncategorized | Märkt , | Lämna en kommentar

Fraktaler i blåbärssoppa

Publicerat den april 30, 2014 av mattelararen

Fractaler i blåbärssoppa Icke regelbundna former kan i regel beskrivas som fraktaler dvs kurvor som består av mindre kopior av sig självt. Ex är kustlinjen och moln och träd. Dimensionen för en fraktal beräknad som kvoten mellan area och sträcka behöver inte vara ett heltal. Exempelvis är dimensionen, eller måttet, för Kochs kurva 4/3. Plottar man upp kaosartade processer blir grafen en fraktal. Mandelbrotmängderna (se bild nedan) är ett exempel. Ett system, eller en process, är kaosartad om en liten ändring av startvärdena resulterar i en stor, oförutsägbar, ändring av slutvärdena. Ett exempel på detta är fjärilseffekten som innebär att om en fjäril flaxar med vingarna i Australien ändras startvärdena för atmosfärens tillståndsvariabler så att det uppstår en orkan på andra sidan jordklotet.

sidan jordklotet. mandelbrot2

Publicerat i Geometri, matematik 2c, Uncategorized | Märkt , , | Lämna en kommentar

Stråloptik

Publicerat den april 21, 2014 av mattelararen
Newtonringar

Newtonringar

Ljus besitter såväl partikel – som vågegenskaper som jag tidigare skrivit om. Rörelsemängd är exempel på det förstnämnda medan interferens och refraktion (brytning) är exempel på det senare.
När det gäller strålgång i speglar och linser fungerar vågmodellen väl. Då beskrivs strålgången med hjälp av pilar vars riktning sammanfaller med vågfrontens rörelseriktning. Då ljuset passerar genom en lins ändras dess utbredningsriktning eftersom ljushastigheten i glas endast är 2/3 av ljushastigheten i vakuum. Eftersom ljusets frekvens måste förbli oförändrad (annars skulle vågorna hopa sig) är det ljusvåglängden som ändras.
Detta förlopp beskrivs av Snells lag:
n1 sin v1 = n2 sin v2
Där n1 och n2 är de respektive ämnenas brutningsindices och v1 och v2 är infalls respektive brytningsvinkeln.

Ett samband mellan föremålsavstånd (à) bildavstånd (b) och brännvidd(f) är Gauss linsformel:
1/a + 1/b = 1/f
Linser används för att ändra ljusets strålriktning. En

konvex lins

samlar ihop ljuset. Parallella strålar bryts ihop genom brännpunkten som också kallas fokus.

Interferensmönster beskrivs Mha gitterformeln
dsinv = mλ

d är gitterkonstanten, v är brytningsvinkeln medan lambda är ljusets våglängd och m är ordningen.

Ex: vinkeln mellan de båda andra ordningarnas maxima är 36

grader

.
gittret har 100 ritsor per mm.
Vilken våglängd har då ljuset?

Publicerat i Fysik 1, Uncategorized | Märkt , | 1 kommentar

Jordliknande planet

Publicerat den april 19, 2014 av mattelararen
Avbildning av den närmaste jordlikannde planeten Gliese-832c.

Avbildning av den närmaste jordlikannde planeten Gliese-832c.

 

Påträffad runt M stjärna i SvaSvanens stjärnbildnens stjärnbild 500 ljusår från solen.

Publicerat i Astronomy, Uncategorized | Märkt | Lämna en kommentar

Centrala medelvärdessatsen och normalfördelningen

Publicerat den april 8, 2014 av mattelararen
68% befinner sig inom en standardavvikelse från medelvärdet. 96 % inom två.

68% befinner sig inom en standardavvikelse från medelvärdet. 96 % inom två.

Enligt centrala medelvärdessatsen fördelar sig alla slumpmässiga mätningar av oberoende variabler enligt normalfördelningen. Denna kallas också Gauss klockkurva. Den har maximal entropi för given varians och standardavvikelse. Ett exempel på detta är antalet sända sms på n dag av en grupp människor.

 

Statistik är insamling och bearbetning av data.
Ett lägesmått sammanfattar det statistiska materialet med ett tal: medelvärde och median är lägesmått.
Medelvärdet fås genom att man summerar alla observationer och delar med antalet observationer.
Medianen fås som den mittersta värdet om man arrangerar mätdata i storleksordning.
Om observationerna inte är siffervärden kan man använda typvärde som är den vanligaste observationen.
Typvärdet är den vanligaste observationen och används då observationerna inte är siffror.

För att beskriva hur väl samlat ett statistiskt material är används spridningsmått: variationssbredd och standardavvikelse.
Variationsbredden fås som differensen mellan det största observerade värdet och det minsta.
Standardavvikelse. Är roten ur variansen.

Publicerat i matematik 2c, matematik 4 | Märkt , , , , | Lämna en kommentar

logaritmer och potenser

Publicerat den april 6, 2014 av mattelararen

Alla positiva reella tal kan skrivas som potenser med basen 10. Exponenten benämns då logaritmen för talet ifråga.

Således är 10log(35)= 35.

Med hjälp av potenslagarna kan man härleda logaritmlagarna.
log(ab) = log(a) + log(b)
log(a/b)= log(a) – log(b)
log(ax)= xlog(a)

lg2x +l g(2/x) = lg2 + lgx + lg2 – lgx = 2lg2 = lg22 = lg4.

logaritmer uppfanns av John Napier.

 

Upprepade  produkter av samma faktorer kan uttryckas med hjälp av potenser. dessa består av en bas och en exponent. den senare anger hur många gånger basen skall multipliceras med sig självt.

52 = 5 × 5

potenslagarna ger

52 × 53 = 52+3

5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 5

 

55/52 = 55-2 = 53

Ur den senaste lagen följer att

50 = 1 eftersom 52/ 52 = 1
50 = 1.

81/3 = 2

uppgift 1651 i Ma1c av sjunnesson.

IMG_2135.JPG

 

Potensekvationer:

x3=27 → x = 271/3 → x = 3.

Allmänt

xn = a → x=a1/n

 

 

Publicerat i matematik 1c, matematik 2c, matematik 3c, matematik 4 | Märkt , , , , | Lämna en kommentar

Logik

Publicerat den april 2, 2014 av mattelararen

Är en gren av filosofin som även ligger till grund för matematiken. Intressant är utsagan: Jag ljuger. Om det är sant är så ljuger han ju och då talar han egentligen sanning. Om det å andra sidan är sant så ljuger han och då talar han egentligen sanning!

Publicerat i Philosophy of Science, Uncategorized | Märkt | Lämna en kommentar

Exponentialfunktioner

Publicerat den mars 31, 2014 av mattelararen

Exponentialfunktioner kan alltid skrivas som y= C ax
Där C är startvärdet och à är förändringsfaktorn.
Exponentiell förändring innebär att den procentuella ökningen per tidsenhet är lika stor hela tiden.

Ex populationen i en stad är 20 000 och ökar med 1 % om året. Då är C= 20000 och à= 1,01. Funktionen blir
då y= 20000 1,01x.

Publicerat i matematik 2c, Uncategorized | Märkt | 2 kommentarer

Andragradsfunktioners grafer och funktioner

Publicerat den mars 28, 2014 av mattelararen

Genomgång av funktionsbegreppet

Det är mycket viktigt att känna till det matematiska språket.

Att f är en funktion av x skriver man som f(x). Skrivsättet används då man önskar betona att y är en funktion av x.
Detta betyder att y-koordinatens värde är beroende av x-värdet.

Ex.
Istället för y = x+3 skriver man då
f(x) = x+3

innebär att y-värdet fås genom att x-värdet skall adderas med 3.

x = 1 ger f(3) = 1 + 3 = 4.

f(3) betyder alltså funktionens värde då x = 3.
f(x) =3 är en ekvation vars lösning är det x-värde som insatt i funktionens ekvation ger y = 3.

Publicerat i matematik 1c, matematik 2c, matematik 3c, Uncategorized | Märkt , | Lämna en kommentar