Human achievement and technological triumph

Publicerat den augusti 12, 2012 av mattelararen

Last Monday August 6 th. a human made automobile called ‘Curiosity ‘ landed on the surface of planet Mars. Even though it is our closest neighbour the journey lasted for 36 weeks.  It defied the ‘Mars curse’ and the landing was successful.

It has no sent its first pictures from this frozen world. Horizons never seen by the human eye.

Panorama from Mars 10th of August 2012.

Publicerat i Astronomy | Lämna en kommentar

Masterclass in mathematics

Publicerat den augusti 5, 2012 av mattelararen

Masterclass summer 2012.

Last week I supervised a masterclass in mathematics for 18 -years olds at Spyken Gymnasium in Lund.

The subject was plane euclidean geometry.

Above is a picture of the participants.  Which includes memebers of the Swedish IMO team

Rdio interview: click here

Publicerat i Uncategorized | Märkt | Lämna en kommentar

Chord-tangent theorem

Publicerat den augusti 2, 2012 av mattelararen

The measure of the angle formed in the intersection between the chord of a circle and the tangent to the circle is the same as the angle at the periphery of the circle.

Click here to se the proof

Publicerat i Geometri, Gymnasiematematik(high school math), matematik 1c, Uncategorized | Märkt , | Lämna en kommentar

Euclidean postulates, theorems and definitions 3

Publicerat den augusti 2, 2012 av mattelararen

Geometri teorem

den 29 juli 2012

00:02

  1. Om två vinklar är vertikalvinklar är de båda vinklarna lika stora. (If two angles are vertical angles then the two angles are congruent.)
  2. Två trianglar är kongruenta (likadana) om två sidor och mellanliggande vinkel hos de båda trianglarna är kongruenta. (Two triangles are congruent if two angles and the included angle are congruent to the corresponding parts of the second triangle. S.A.S..)
  3. Två trianglar är kongruenta om två vinklar och sidan mellan dessa är kongruenta i de båda trianglarna. (Two triangles are congruent if two angles and the included side of the  first triangle are congruent to the corresponding parts of the 2nd triangle. A.S.A.)
  4. Två trianglar är kongruenta om sidorna i den första triangeln  är kongruenta med motsvarande element i den andra triangeln. (Two triangles are congruent if the sides of the first triangle are congruent to the corresponding sides of the second triangle. (S.S.S.)
  5. Om en triangel har två kongruenta sidor, har den också två kongruenta vinklar som står mot dessa sidor. Och omvänt. (If a triangle has two congruent sides then the triangle has congruent angles opposite those sides.
  6. En liksidig triangel är alla vinklar lika stora. (An equilateral triangle is equiangular. Also converse.)
  7.  Om två likbelägna vinklar bildade av en transversal är lika stora är linjerna parallella.  Och omvänt  If a pair of corresponding angles formed by a transversal of two angles are congruent then the two lines are parallell. Also converse.
  8. Om ett par alternatvinklar bildade av en transversal  mellan två linjer är kongruenta så är dessa båda linjer parallella. Omvändningen gäller också.
  9. Två linjer är parallella om de är vinkelräta mot samma linje.
  10. Om en linje är vinkelrät mot den ena av två parallella linjer är den också vinkelrät mot den andra.
  11. Om ett par intilliggande inre  vinklar bildade av en transversal mellan två linjer är supplemetära , så är linjerna parallella. Och omvänt.
  12. Storleken på yttervinkeln i en triangel är lika med summan av de båda inre vinklarna i triangeln.
  13. Summan av storleken på de tre vinklarna i en triangel är 180 grader. Alltid.
  14. Summan av de spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangel är 90 grader
Publicerat i Geometri, Gymnasiematematik(high school math) | Märkt , | Lämna en kommentar

Euclidean postulates, theorems and definitions 2

Publicerat den augusti 2, 2012 av mattelararen

1. The sum of the measures of the four interior angles of a convex quadrilateral is 360 degrees, a constant.

  1. Two triangles are congruent (i.e. identical) if two angles and a non- included side of the first triangle are congruent to the correponding parts of the 2nd triangle.
  1.  Two right triangles are congruent if the hypotenuse and a leg of one triangle are congruent to the corresponding parts of the other triangle.
  3. Any point on the perpendicular bisector of a line segment is equidistant from the endpoints of the line segment. Two points equidistant from the endpoints of a line segment, determine the perpendicular bisector of the line segment. En godtycklig punkt på en vinkelrät bisektris befinner sig mitt emellan vinkelns sidor.
  1. Varje punkt på mittpunktsnormalen av ett linjesegment befinner sig på samma avstånd från segmentets ändpunkter. Två punkter på samma avstånfd från ändpunkterna bestämmer  mittpunktsniormalen,.
  1. Parallell lines are everywhere equidistant.
  2. Motsdtående sidor i en parallellogram är parallella och omvänt.
  1. Motstående sidor i ett parallellogram är congruenta.  Och omvänt.
  1. Intilligande vinklar i ett parallellogram är supplementära.
  1. Diagonalen i ett parallellogram delar  in parallellogrammet i två kongruenta trianglar.
  2. Ett parallelograms diagonaler delar varandra på mitten.
  3. En rektangel är ett special fall av parallellogrammet medd fyra kongruenta vinklar  och dess diagonler är kongruenta. Och omvänt.
  4. En romb är ett parallellogam där diagonalerna skär varandra under rät vinkel.
  5. Romben har fyra kongruenta sidor. Och omvänt.
  6. DiagonalerNA I ROMBEN är bisektriser.
  7. En fyrhörning är ett parallelogram om motstående sidor är parallella och kongruenta.
Publicerat i Geometri | Märkt | Lämna en kommentar

Heron’s formula

Publicerat den juli 29, 2012 av mattelararen

Heron who invented rhe first steam device also came up with a geometry formula.

The circumference p of a triangle is related to the sides of of the triangle a,b and c and the trianglearea T through

T = √ (p(p-a)(p-b)(p-c)

Publicerat i Geometri, Gymnasiematematik(high school math) | Märkt | Lämna en kommentar

Some geometric theorems: Menelao’s, Ceva’s, Simson’s line and Stewart’s

Publicerat den juli 28, 2012 av mattelararen
In Linneus backyard: Möckelsnäs manor house, Älmhult

The Italian mathematician Giovanni Ceva’s published in 1678 Menalao’s theorem and that which is credited to him.

Use Menlao’s theorem for collinearity and Ceva’s theorem för concurrency.

Menelao’s theorem (named after MEnelaos from Alexandria  100 A.D) states that if points P, Q and R are taken on sides AC, AB or BC of triangle ΔABC  these points are collinear if and only if

AQ/QB · BR/RC · CP/PA = -1.

Ceva’s theorem says that three lines drawn from the vertices  A, B and C of ABC meetinng the opposite sides in points L, M, N respectively , are congruemt if and only if

AN/NB · BL/RC ·  CP/PA =1.

Ceva’s theorem

Simson’s line: The feet of the perpendiculars drawn from any point on the circumference of a circumscribed circle to the sides of the triangle are collinear.

Simson’s line
Publicerat i Geometri | Märkt | Lämna en kommentar

Kurrebo, Urshult, An Eden in Sweden

Publicerat den juli 22, 2012 av mattelararen

Kurrebo, Urshult, An Eden in Sweden

The public garden and apple orchard in Urshult Sweden.
The northernmost applefarm in the world.With a fantastic rosarium. The seed company Nelson also exhibits its assortiment of bulbs and seeds here. Fantastic fragrance!

Publicerat i Uncategorized | 3 kommentarer

Definition of groups

Publicerat den juli 19, 2012 av mattelararen

A group in mathematics has the following properties:

There exist a set of elements p, q, r, …  and a binary operation which applied to p, q gives pq.

The set is closed under this single-valued operation.

  1.  The associative law: p(qr) = (pq)r.
  2. Identity law: p i = i p.
  3. Inverse law:   there exist p’ such that p p’ = p’ p 

If the group axioms are full-filled i is unique and the inverse is also unique.

Publicerat i Algebra | Lämna en kommentar

Normalized coordinates

Publicerat den juli 14, 2012 av mattelararen

If A, b, c are three non-linear points, any vector P inside the triangle ABC may be expressed in terms of vectors A, B C thus:

P =xA + yB + zC   with x + y + z = 0

and x,y,z being uniquely determined.

This is called barycentric or normalized

Wisteria sinensis ”Prolific”

 coordinates.

Publicerat i Uncategorized | Lämna en kommentar