Kategorier
Algebra Calculus Gymnasiematematik(high school math) Mathematical physics Uncategorized Vectors

Vektoranalys (Vectoranalysis)


Derivering av vektorer kan ske på två sätt. Antingen som skalärprodukt eller vektorprodukt. Skalärprodukten ( En.dot – product) ger en skalär som resultat. Ett exempel är beräkning av arbete som skalärprodukten av kraften och förflyttningen i kraftens riktning: W = Fs. Den kan beräknas som Bqvcos(α).

Eller i koordinatform:

Fx∙x + Fy∙y

Lorentzkraften som anger hur stor kraft en laddning, Q, som rör sig med hastigheten v i ett magnetfält B påverkas av är ett exempel på en vektorprodukt (En. cross product).
F = qvxB.
Kraften, F, är en vektor som är vinkelrät mot v och B. Dess absolutbelopp kan beräknas som Bqvsin(α). Där &alpha: är vinkeln mellan v och B-vektorerna.

den första kallas divergenten och den sistnämnda rotation,

Enligt Helmholtz sats kan en vektor u delas upp i en irrotationell och en solenoidal del. Ett irrotationellt, eller konservativt vektorfält, har en potentialfunktion. Exempel på konservativa fält är gravitationsfältet och det elektriska fältet. Ett solenoidalt fält saknar plus- och minuspoler dvs laddningar. Exempel på sådana fält är det magnetiska fältet. För den irrationella delen är rotationen av vektorfältet ∇x u = 0 medan divergensen är noll för den solenoidala delen ∇∙u=0.

Här betecknar ∇ summan av den partiella derivatan i x-led, y-led och z-led.
∇= ∂/∂x + ∂/∂y + ∂/∂z vilket tillämpat på en skalär ger gradienten.

 

Divergens (vektoranalys) – Wikipedia

Rotationen anger vridstyrkan i det magnetiska fältet medan divergensen anger källstyrkan.

I koordinatform fås:

En av Maxwells ekvationer är för övrigt just att divergensen av det magnetiska fältet är noll vilket innebär att det inte finns några magnetiska laddningar alltså isolerade nord- och Sydpoler (En. there are no magnetic poles) :

∇∙B = 0.

Deriverar men volymen får man en yta detta använda vid Gauss sats där volymsintegralen av divergensen blir ytintegralen av vektorn. ∰∇∙u dxdydz= ∯udS

Enligt Stokes sats blir ytintegralen av rotationen av en vektor lika med linjeintegralen av vektorn. ∯∇xu dS = ∲u dl.

Av mattelararen

Licentiate of Philosophy in atomic Physics
Master of Science in Physics

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google-foto

Du kommenterar med ditt Google-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s