Induktion och Växelström (AC =Alternating Current)

Publicerat den november 3, 2013 av mattelararen

image004

Det magnetiska flödet Φ  är skalärprodukten av den magnetiska flödestätheten B och arean  A.  Φ = B ·A  = AB cosθ där θ är vinkeln mellan B och A.  Detta innebär att det är produkten av den mot arean vinkelräta komposanten av magnetfältet och arean som är flödet.

Den elektriska generatorn omvandlar mekanisk energi till elektrisk energi  genom att den har en spole som roterar i ett magnetfält B. Eftersom flödet då varierar med tiden induceras enligt Faradays induktionslag en spänning i spolen. Således alstrar ett varierande magnetfält en ström i den slinga genom vilket flödet ändras.

Antag att en spole med arean A roterar med vinkelhastigheten ω. Då blir vinkeln mellan  

spolen och magnetfältet θ= ωt.

Flödet genom spolen blir då Φ = BA cos(ωt).

Men u = -NdΦ/dt (Faradays induktionslag)  och  -NdΦ/dt = -NBA ωsin(ωt).   Amplituden framför sinωt benämns toppvärdet av växelspänningen och man skriver u(t) = û sin(ωt). Dividerar man med R får vi enligt Ohms lag växelströmmen i(t) = î sin(ωt). Motstånd heter impedans för växelströmskretsar. Den är frekvensberoende.

För spolen ges impedansen av XL = ωL.
Medan den för kondensatorer är XC =1/(ω C).

Ex. En modelljärnväg drivs av växelspänning på 12 V. Ge exempel på varvtal hos spolarna?
Tips använd transformatorformeln. U1/U2 = N 1/ N2.

Publicerat i Fysik 2, Gymnasiefysik(high school physics), Uncategorized | Märkt , , | Lämna en kommentar

Procenträkning (Percentage calculation)

Publicerat den oktober 31, 2013 av mattelararen

20131031-174156.jpg
Akropolis i pastell. Artist:Kristian Strid

Redan under antiken räknade man med procent. Ordet procent kommer från latinet och betyder per hundra. I vår tid betyder det hundradel.

Således gäller att:

5% = 5/100 = 0,05.

Man kan indela alla procentproblem i tre kategorier:

  1. Beräkna andelen(calculate the proportion)
  2. Beräkna delen(calculate the part)
  3. Beräkna det hela (calculate it all)

Exempel på problem ett är att t.ex följande: Hur många procent är 40 plommon av ett parti på 200 plommon ? 

Det löser man genom att man dividerar delen med det hela:

40/200 = 0,20 = 20% .

Ett exempel på problem av typ två är följande: Hur mycket är 25% av 4 000 personer?

Det löser man genom att först beräkna en procent av 4 000 personer: 4000/100 = 40 st personer. Sedan multiplicerar man detta med 25:  25 x 40 = 1 000 personer. 

Man kan genomföra dessa båda steg på en gång genom att multiplicera 4 000 med 0,25 direkt: 0,25 · 4 000 = 1 000 personer.  

Den tredje typen av problem kan se ut enligt följande: Pernilla fick ett år 700 kr i ränta på sitt bankkonto där räntesatsen var 3,50%. Hur mycket pengar hade Pernilla på sitt bankkonto vid årets början om inga insättningar gjordes under året? 

Här beräknar man först vad en procent av kapitalet är: 700/3,50 kr = 200 kr. 

Sedan multiplicerar man detta med 100 så fär man fram hela beloppet:

100 ·200 kr = 20 000 kr.  

Det är också viktigt att skilja mellan procent och procent enheter.

Antag att andelen arbetslösa ökar från 10 till 12 %.

Då är ökningen 2 procentenheter men 2/10 = 20%.

Förändringsfaktor:

Med förändringsfaktor kan man enkelt räkna ut det nya värdet

nya värdet = förändringsfaktorn · gamla värdet 

Förändringsfaktorn får man fram genom att ta 1 + r där r är procentuella ökningen eller minskningen i decimalform.

Ex Priset på en vara ökar med 5% ger en förändringsfaktor 1 + o.o5 = 1.05.

Sänkning med 30% ger ff = 1-0.30 = 0.70.

En fördel med ff är att man enkelt kan beräkna upprepade förändringar:

Höjning med 5% och sänkning med 30% ger 1.05 &middot0.70 · gamla priset.

10 års ränta på ränta med 5% räntesats ger på 10 000 kr insättning ger

1.0510 · 10 000 kr

Publicerat i Fysik 1, Gymnasiematematik(high school math), matematik 1c, Uncategorized | Märkt | Lämna en kommentar

Nuclear Physics

Publicerat den oktober 25, 2013 av mattelararen

All materia är uppbyggd av kvarkar och elektroner.

Kvarkarna förekommer inte i fritt tillstånd utan endast bundna i tripletter eller parvis.

Nukleonerna byggs upp av tripletter. Protonen består av två up-kvarkar och en ned-kvark och vice versa för neutronen.  Kvarkarna och därmed nukleonerna binds samman av den sk starka kärnkraften. Denna övervinner den elektromagnetiska repulsionen mellan de positiva protonerna på korta avstånd (fm).

Kärnans bindnigsenergi definieras som den energi som måste tillföras kärnan för att denna skall brytas upp i sina beståndsdelar.

Det visar sig att de fria nukleonernas sammanlagda massa överstiger atomkärnans massa. skillnaden är den sk massdefekten

Enligt Einsteins formel är massa en form av energi som kan beröknas med E = mc2     

Detta förklarar var bindningsenergin kommer ifrån.

Antalet protoner i kärnan benämns atomnummer, Z. Summan av antalet protoner och neutroner är lika med masstalet A.

Atomnumret fastställer entydigt vilket ämne det handlar om. Det fungerar som ordningsnummer i det periodiska systemet.

Däremot kan antalet neutroner variera för ett och samma ämne. Kärnor med samma atomnummer men olika masstal betecknas som isotoper av samma ämne.

Vissa ämnen är instabila och sönderfaller till andra ämnen. Dessa betecknas som radioaktiva kärnor. Den mest stabila atomkärnan är <sup>26</sup>Fe.

Alla andra ämnen eftersträvar denna ur energisynpunkt mest gynnsamma nukleonkonfiguration.

Tyngre ämmen kan sönderdelas (fission) medan lättare ämnen kan slås samman (fusion) för att uppnå detta. I båda processerna alstras energi.

ΔN = k N Δt kan omformuleras som differentialekvationen dN/dt = kN dN/dt+kN = 0. Detta är en lineär homogen differentialekvation av första ordningen som kan lösas genom att man multiplicerar båda leden med den integrerande faktorn.
e-kt. Vänsterledet är då lika med derivatan av en produkt. dNe-kt/dt = 0. Integration av båda leden ger Ne-kt=C
N(t)=N0e-kt

Man kan skriva denna ekvation som N(t) = N0(1/2)t/T1/2

T1/2 är halveringstiden dvs den tid det tar för hälften av kärnorna att sönderfalla.

I en kärnreaktionerna omvandlas ett grundämne till ett annat. Alkemi alltså.

Den första av människan avsiktligt framkallade kärnreaktionerna är:

4He + 14N → 17O + 1H

Vid kärnreaktionerna gäller följande bevarandelagar:

laddningen, Q, bevaras.

Nukleontalet ( masstalet) bevaras.

Den totala energin bevaras.

 

 

Publicerat i Fysik 1, Fysik 2 | Märkt , , , , , | 2 kommentarer

Partialbråksuppdelning.

Publicerat den oktober 16, 2013 av mattelararen

Partialbråksuppdelning går ut på att man skriver om ett rationellt uttryck som summan av ratioenlla uttryck av lägre gradtal

Partialbråksuppdelning ger ansatsen

\begin{displaymath}<br /><br /> \frac{1+4x+4x^{2}}{(x+5)^{2}(x+2)(1-x)}=\frac{A}{(x+5)^{2}}<br /><br /> +\frac{B}{x+5} + \frac{C}{x+2}+\frac{D}{1-x}<br /><br /> \end{displaymath}

Handpåläggning ger $A=4\cdot4^{-1}(-1)=6,$ $C=2\cdot 2^{-1}3^{-1}=5$ och $D=2\cdot 3^{-1}=3$. Sätter vi nu $x=0$ får vi $1\cdot<br /><br /> 4^{-1}2^{-1}=6\cdot 4^{-1}+B5^{-1}+5\cdot 2^{-1}+3$ eller $1=5+3B+6+3,$ dvs $B=5$.

Detta är användbart bl.a. vid integrationer där integranden är en rationell funktion som man inte kan finna någon primitiv funktion  till.

Publicerat i Algebra | Märkt | Lämna en kommentar

l´Hôpital’s rules

Publicerat den oktober 8, 2013 av mattelararen

sin(x)/x = 1 when x approaches infinity. Direct substitution of x=0 gives the indeterminate form 0/0.
The limit of an indeterminate form can be any number. For instance
kx/x= 0 , |x|/x2= &inf; as x tends towards infinty.
Many indeteminate forms can be evaluated with basic algebra.
If this is not possible l’Hôpital’s rule is the solution.

It states that the limit of an indeterminate form equals the limit of the dervative of the nominator and denominator of the indeterminate form.

Publicerat i Calculus, matematik 3c, matematik 4 | Märkt , | 3 kommentarer

Rotationskroppar 2 Guldins regel

Publicerat den oktober 3, 2013 av mattelararen

Ett alternativt sätt att beräkna volymen av en rotationskropp är att använda sig av Guldins regel eller Pappus centroid teorem. Detta innebär att man får volymen om produkten av rotationskroppens  tyngdpunkts (centroids) färdväg vid rotationen (d) och tvärsnittsarean A.

V = Ad.\,()

Exempelvis kan man beräkna volymen av en torus (en äpplemunk) med innerradien  radius R-r och yttre radien R+r enligt

V = (\pi r^2)(2\pi R) = 2\pi^2 R r^2.\,

Pappus’s theorem, in mathematics, theorem named for the 4th-century Greek geometer Pappus of Alexandria that describes the volume of a solid, obtained by revolving a plane region D about a line L not intersecting D, as the product of the area of D and the length of the circular path traversed by the centroid of D during the revolution. To Pappus’s theorem [Credit: Encyclopædia Britannica, Inc.]illustrate Pappus’s theorem, consider a circular disk of radius a units situated in a plane, and suppose that its centre is located b units from a line L in the same plane, measured perpendicularly, where b > a. When the disk is revolved … (100 of 323 words)

Dvs genom att integrera tvärsnittsareorna längs tyngdpunktens färdväg.

Publicerat i matematik 5 | Märkt , | Lämna en kommentar

Rotationskroppar

Publicerat den september 26, 2013 av mattelararen

Ett elegant sätt att beräkna volymen av kroppar som genereras av en känd funktion s.k. rotationskroppar, är med hjälp av tvärsnittsformeln.

Constructie ellipsoïde
Tanken är att en kurva med känd funktion y=f(x) roteras runt en av koordinataxlarna och därvid genereras en rotationskropp.
Tvärsnittet av denna utgörs av en cirkel med radien f(x). Således är tvärsnittsarean π(f(x))2.
Om man multiplicerar denna area med ett infinitesmalt längdelement får man ett infinitesimalt volymselement. π(f(x))2dx.

<form method=”post”  action=”mailto:Kristian.strid@gmail.com!” >

<textarea namn=”texten” rows=”5″ cols=”30″>

Om man summerar dessa volymselement över hela rotationskroppens längd fås dess totala volym. En sådan summation av infinitesimala cylindrar kan beräknas med en integral.:

V=2\pi \int_a^b x(f(x)) dx

∫π(f(x))2dx från ena änden av kroppen till den andra.

</textarea>

</form>

Ett alternativ är att summera cylindriska skal inifrån rotationskroppen och ut till dess kant.
Ett sådant infinitesimalt skal kan tecknas som 2πf(x)dx.
Integralen blir då

Area av en rotationskropp är

V=2\pi \int_a^b x(f(x)) dx
Publicerat i Calculus, Gymnasiefysik(high school physics), matematik 4 | Märkt , | Lämna en kommentar

Magnetism 2

Publicerat den september 24, 2013 av mattelararen

Harmonisk svängning som modell för att beskriva fenomen inom vardag och teknik.
Reflektion, brytning och interferens av ljus, ljud och annan vågrörelse.
Stående vågor och resonans med tillämpningar inom vardag och teknik.
Orientering om ljudstyrka och dopplereffekt.
Samband mellan elektriska och magnetiska fält: magnetiskt fält kring strömförande ledare, rörelse av elektrisk laddning i magnetiskt fält, induktion och några tillämpningar, till exempel växelspänningsgeneratorn och transformatorn.
Våg- och partikelbeskrivning av elektromagnetisk strålning. Orientering om elektromagnetiska vågors utbredning. Fotoelektriska effekten och fotonbegreppet.
Materiens vågegenskaper: de Broglies hypotes och våg-partikeldualism.
Fysikaliska principer bakom tekniska tillämpningar för kommunikation och detektering.

Som beskrivits tidigare är ett magnetfält en egenskap rymden får av strömmen.

Kraftfältet runt strömförande ledare är koncentriska cirklar runt ledaren.

Man kan beräkna magnetfältets storlek i en viss punkt med hjälp av Biot -Savart’s lag:
dB = μIsinα ds/(4πr2).

Med Ampere’s krets lag kan man beräkna magnetfältet runt en strömförande ledare , en lag inom elektrodynamik som beskriver det magnetfält som alstras av en elektrisk ström. Lagen upptäcktes av André-Marie Ampère och formuleras att cirkulationsintegralen av den magnetiska fältstyrkan H är lika med strömmen innesluten av konturen, eller

\oint_C \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mu_0 \iint_S \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \mu_0I_\mathrm{enc}

.Se en tillämpnng av lag längst ned på sidan.
Lagen kan härledas ( Stokes lag)med  från den differentiella formen av Ampères lag,

\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}

som utgör en av Maxwells elektromagnetiska ekvationer.

Ur dessa kan man även teoretiskt härleda den på empiriska grunder postulerade Faraday’s induktionslag.
V = -δΦ/δt.

Innebörden av detta är att ett varierande magnetiskt flöde Φ ger upphov till en spänning i en sluten krets som exponeras för ett varierande magnetiskt flöde.

Tillämpning på en cirkelformig kontur med radie r centrerad kring en rak ledare med ström I ger att den magnetiska fältstyrkan H ges som 2πr H = I, eller att den magnetiska flödestätheten B(r) = μ0H = 2.10-7 I / r där μ0 är den magnetiska permeabiliteten i vakuum. I SI-systemet används denna form i definitionen av enheten ampere, via den kraft som verkar ömsesidigt på två oändliga och parallella ledare som genomlöps av en lika stor ström.

Ex. Beräkning av magnetfältet runt en lång rak ledare genomfluten av strömmen Imed hjälp av Amperes lag:

Som integrationsväg väljer vi en cirkel med radien r centrerad kring ledaren.

Längs denna är den magnetiska flödestätheten konstant B och kan därför lyftas ut och placeras framför integraltecknet.

B∫ds = μ0I

Kurvintegralen ∫ds = 2πr vilket helt enkelt är cirkelns omkrets.

Således blir B = μoI/(2πr)

Publicerat i Fysik 2, Gymnasiefysik(high school physics) | Märkt | Lämna en kommentar

Magnetism

Publicerat den september 23, 2013 av mattelararen

Thr north pole is the end of the magnet pointing towards the north-pole of the earth. The north pole of one magnet attracts the southpoles of another magnet. If one tries to break a magnet into two the effort is futile because the result is two new magnets each having its own south- and north-pole.
The earth itself acts as a huge magnet having its magnetis southpole close to the geographic north-pole.
H. C. Örsted discovered in 1820 that currents in wires produces magnetic fields around them. A simple rule for rememebering the direction of the magnetic field is the right-hand rule. It states that if one grasps the wire with the right hand in such a way that the thumb points in the direction of of the current the fingers then circle the wire in the same sense as the magnetic field.
There is a far reaching similarity between the magnetiv magnetic around a coil and a bar-magnet.

A wire carrying a current through a magnetic field experience a force. This force can be calculated with the following formula:
F = L i x B.
Here B is the Magnetic flux density.

Since I = Q/t F = L Q/t B = QvxB
The resulting force acting on a charged particle moving in an Electric and magnetic field is thus given by the Lorentz-relation: F = qE + QvxB.

The field -strength a distance r outside a wire carrying the current I is given by

B = μI/(2πr)

Publicerat i Fysik 2, Gymnasiefysik(high school physics) | Märkt | Lämna en kommentar

Electromagnetism och Ellära

Publicerat den september 19, 2013 av mattelararen
Elektriciteten ger julstämning

Elektriciteten ger julstämning

Elektrisk laddning är en symmetriegenskap hos materiens minsta beståndsdelar. Det finns två slags elektrisk laddning. Elektronen är negativt laddad medan protonen har positiv laddning. De elektromagnetiska krafterna är en av de fyra grundläggande krafter som finns. De har en helt avgörande betydelse för hur omvärlden gestaltar sig.
Exempelvis är de kemiska bindningarna kovalent bindning, jonbindningar och vätebindningar av elektromagnetisk natur.
En kropp som har överskott av elektroner blir negativt laddat. Underskott ger positiv laddning.

Kroppar med olika laddning attraherar varandra medan de med samma laddning repellerar varandra.
Denna kraftverkan beskrivs med Coulombs lag.
F=kQ1Q2/r2

image

 

Där Q1och Q2 är laddningarna medan r är avståndet mellan laddningarna. k är den sk Coulombkonstanten som uttryckt i fundamentala naturkonstanter kan skrivas
1/(4πε0).

Som en förklaringsmodell för denna kraftverkan på avstånd använder man kraftfältbegreppet.
Här beskrivs kraftverkan med kraftlinjer i rymden som är riktade åt det håll som en positiv laddning skulle påverkas. Antalet linjer genom en ytenhetn är proportionellt mot fältstyrkan.
Denna definieras som E=F/Q.
I goda ledare, tex. metaller, finns fritt rörliga elektroner sk delokaliserade elektroner. Dessa kan transportera laddning eller med andra ord leda den elektriska strömmen. De bromsas på sin väg genom materien av kollisioner med andra partiklar. Detta fenomen kallas resistans. Ämnen som saknar ledande egenskaper kallas isolatorer.

Den laddade kroppen besitter en potentiell energi när den befinner sig i ett elektriskt fält. Detta är fältets förmåga att uträtta ett arbete på laddningen.

Den absoluta potentialen definieras som det arbete som fordras för att föra en enhetsladdning från oändligheten till punkten i fråga.

I regel är det potentialskillnaden mellan två punkter som är av intresse.
Denna benämns spänning. Den definieras på följande sätt:

Det arbete som krävs för att flytta en laddning, q, en sträcka s i ett homogent elektriskt fält ges av

W = F s

F = q E     →   W = q E s  →  W/q = E s

varför W/q = U. detta medför att U= E s.
Batterier fungerar genom att kemisk energi omvandlas till elektrisk energi. Den kemiska potentialen om ingen ström tas ut benämns elektromotorisk kraft.
I kretsteorin dvs då man analyserar elektriska kretsar är Kirchhoffs lagar av stort värde:
Den första säger att summan av strömmarna som kommer in i en förgreningspunkt är lika med summan av de strömmar som lämnar knutpunkten.

Den andra lagen innebär att summan av alla potentialändringar i en sluten krets blir noll.

Man återfår alltså samma potential då man återkommer till startpunkten.

 

Övningsexempel: beräkna attraktionskraften mellan protonen och elektronen i en väteatom.
Avståndet däremellan är 0,529 Å.

 

Ledning: använd Coulombs lag.    F = k e e/(0,529 &dot;)<sup>2</sup>

 

Publicerat i Ergo 1, Fysik 1, Gymnasiefysik(high school physics) | Märkt , , | Lämna en kommentar